Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M nằm trên AC ta dựng một mặt phẳng (α) song song với AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P và Q.
LG a
Tứ giác MNPQ là hình gì?
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa d và cắt (α) theo giao tuyến d′ thì d′∥d.
{d∥(α)d⊂(β)(α)∩(β)=d′⇒d∥d′
Lời giải chi tiết:
Ta có:
{(α)∥ABAB⊂(ABC)(α)∩(ABC)=MN
⇒MN∥AB
Ta có:
{(α)∥CDCD⊂(BCD)(α)∩(BCD)=NP
⇒CD∥NP
Ta có:
{(α)∥ABAB⊂(ABD)(α)∩(ABD)=PQ
⇒PQ∥AB
Ta có:
{(α)∥CDCD⊂(ACD)(α)∩(ACD)=MQ
⇒MQ∥CD
Do đó MN∥PQ và NP∥MQ.
Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.
LG b
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm tập hợp các điểm O khi M di động trên đoạn AC.
Phương pháp giải:
Sử dụng định lý Talet
Lời giải chi tiết:
Ta có MP∩NQ=O. Gọi I là trung điểm của CD.
Trong tam giác ACD có MQ∥CD ⇒AI∩MQ=E,E là trung điểm của MQ.
Trong tam giác BCD có NP∥CD ⇒BI∩NP=F,F là trung điểm của MQ.
Khi đó EF là đường trung bình của hình bình hành MNPQ ⇒EF∥MN và O là trung điểm của EF.
Trong tam giác ABI có EF∥AB, O là trung điểm của EF khi đó IO∩AB=J,J là trung điểm của AB.
⇒I,O,J thẳng hàng, O thuộc IJ cố định.
Vì M di động trên AC nên O chạy trong đoạn IJ.
Vậy tập hợp các điểm O là đoạn IJ.
