Đề bài
Thầy giáo có ba quyển sách Toán khác nhau cho ba bạn mượn (mỗi bạn một quyển). Sang tuần sau thầy giáo thu lại và tiếp tục cho ba bạn mượn ba quyển đó. Hỏi có bao nhiêu cách cho mượn sách mà không bạn nào phải mượn quyển đã đọc?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức mở rộng \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) để giải bài toán.
Lời giải chi tiết
Để xác định, ba bạn được đánh số 1, 2, 3.
Kí hiệu \({A_i}\) là tập hợp các cách cho mượn mà bạn thứ \(i\) được thầy giáo cho mượn lại cuốn đã đọc lần trước \(\left( {i = 1,2,3} \right).\)
Kí hiệu X là tập hợp các cách cho mượn lại.
Theo bài ra cần tính \(n\left[ {X\backslash \left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right)} \right].\)
Ta có \(n\left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right) \)
\(= n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) + n\left( {{A_3}} \right) - \)
\(n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_3}} \right) -\)
\(n\left( {{A_2} \cap {A_3}} \right) + n\left( {{A_1} \cap {A_2} \cap {A_3}} \right) \)
Mà \(A_1\) là tập hợp các cách bạn thứ nhất mượn trùng cuốn, khi đó hai bạn còn lại mượn khác cuốn nên có \(2!\) cách.
Tương tự \(A_2\) và \(A_3\) cũng có \(2\) cách.
\({{A_1} \cap {A_2}}\) là tập hợp các cách bạn thứ nhất và thứ hai trùng cuốn, khi đó chỉ có bạn thứ ba khác cuốn nên chỉ có \(1\) cách.
Tương tự \({{A_1} \cap {A_3}}\) và \({{A_2} \cap {A_3}}\) cũng chỉ có \(1\) cách.
\({{A_1} \cap {A_2} \cap {A_3}}\) là tập hợp các cách cả ba bạn mượn trùng cuốn nên chỉ có \(1\) cách.
Suy ra có \(2! + 2! + 2! - 1 - 1 - 1 + 1=4\)
Mà \(n\left( X \right) = 3! = 6\) (cách)
Nên \(n\left[ {X\backslash \left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right)} \right] = 6 - 4 = 2\).
Chú ý:
Với bài toán đơn giản các em có thể sử dụng phương pháp liệt kê như sau:
Kí hiệu 3 bạn là 1, 2, 3 và 3 quyển toán là \(T_1,T_2,T_3\).
Không mất tính tổng quát giả sử tuần này thầy cho:
+) 1 mượn \(T_1\)
+) 2 mượn \(T_2\)
+) 3 mượn \(T_3\)
Do đó tuần sau:
+) 1 chỉ có thể mượn \(T_2\) hoặc \(T_3\).
+) 2 chỉ có thể mượn \(T_1\) hoặc \(T_3\).
+) 3 chỉ có thể mượn \(T_1\) hoặc \(T_2\).
TH1: 1 mượn \(T_2\) thì 3 chỉ có thể mượn \(T_1\) và 2 chỉ có thể mượn \(T_3\).
TH2: 1 mượn \(T_3\) thì 2 chỉ có thể mượn \(T_1\) và 3 chỉ có thể mượn \(T_2\).
Vậy chỉ có \(2\) cách cho mượn sách để đảm bảo các bạn không mượn trùng sách.
