Đề bài
Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a.
Lời giải chi tiết
Giả thiết cho ABCD là tứ diện đều nên các cặp cạnh đối diện của tứ diện đó có vai trò như nhau.
Do đó ta chỉ cần tính khoảng cách giữa hai cạnh AB và CD là đủ.
Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Tam giác BCD và ACD đều cạnh a nên hai đường trung tuyến \(BK = AK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) hay tam giác ABK cân tại K.
I là trung điểm AB nên \(KI \bot AB\).
Tương tự ta có \(IK \bot CD\).
Do đó IK là đoạn vuông góc chung của AB và CD nên nó chính là khoảng cách giữa AB và CD.
Tam giác BKI vuông tại I. Ta có :
\(I{K^2} = B{K^2} - B{I^2} = {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} - {\left( {{a \over 2}} \right)^2} = {{{a^2}} \over 2}\)
Vậy \(IK = {{a\sqrt 2 } \over 2}\).
