Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I(1;2), M(−2;3), đường thẳng d có phương trình 3x−y+9=0 và đường tròn (C) có phương trình: x2+y2+2x−6y+6=0. Hãy xác định tọa độ của điểm M′, phương trình của đường thẳng d′ và đường tròn (C′) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua
LG a
Phép đối xứng qua gốc tọa độ;
Phương pháp giải:
Sử dụng biểu thức tọa độ của tâm đối xứng:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I=(x0;y0), gọi M=(x;y) và M′=(x′;y′) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Khi đó {x′=2x0−xy′=2y0−y
Trong bài này tâm đối xứng là O(0;0) nên {x′=−xy′=−y
Lời giải chi tiết:
Gọi M′,d′ và (C′) theo thứ tự là ảnh của M, dvà (C) qua phép đối xứng qua O.
M(-2;3) nên M′=(2;−3)
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ là:
{x′=−xy′=−y
⇔{x=−x′y=−y′
Phương trình của d′: 3(−x)−(−y)+9=0⇔3x−y−9=0
Phương trình của đường tròn (C′):(−x)2+(−y)2+2(−x)−6(−y)+6=0 ⇔(C′):x2+y2−2x+6y+6=0
LG b
Phép đối xứng qua tâm I.
Phương pháp giải:
Sử dụng biểu thức tọa độ của tâm đối xứng:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I=(x0;y0), gọi M(x;y) và M′(x′;y′) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. Khi đó {x′=2x0−xy′=2y0−y
Lời giải chi tiết:
Gọi M′,d′ và C′ theo thứ tự là ảnh của M, d và C qua phép đối xứng qua I.
Vì I là trung điểm của MM′ nên M′=(4;1)
Vì d′ song song với d nên d′ có phương trình 3x−y+C=0. Lấy một điểm trên d, chẳng hạn N(0;9).
Khi đó ảnh của N qua phép đối xứng qua tâm I là N′(2;−5).
Vì N′ thuộc d nên ta có 3.2−(−5)+C=0. Từ đó suy ra C=−11.
Vậy phương trình của d′ là 3x−y−11=0.
Để tìm (C′), trước hết ta để ý rằng (C) là đường tròn tâm J(−1;3), bán kính bằng 2.
Ảnh của J qua phép đối xứng qua tâm I là J′(3;1).
Do đó (C′) là đường tròn tâm J′ bán kính bằng 2.
Phương trình của (C′) là (x−3)2+(y−1)2=4.
