Đề bài
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường tròn \((C)\) có phương trình \(x^2+y^2-2x+4y-4=0\). Tìm ảnh của \((C)\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec v=(-2;5)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm tâm của đường tròn mới bằng cách sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(M(x;y)\) và vectơ \(\vec v(a;b)\). Gọi điểm \(M’=(x’;y’)=T_{\vec v}(M)\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\).
Bán kính của đường tròn sau khi tịnh tiến vẫn giữ nguyên.
Lời giải chi tiết
Ta thấy \((C)\) là đường tròn tâm \(I(1;-2)\), bán kính \(r=3\).
Gọi \(I’=T_{\vec v}(I)\) \(=(1-2;-2+5)=(-1;3)\)
\((C’)\) là ảnh của \((C)\) qua \(T_{\vec v}\) thì \((C’)\) là đường tròn tâm \((I’)\) bán kính \(r=3\).
Do đó \((C’)\) có phương trình \({(x+1)}^2+{(y-3)}^2=9\).
Cách khác:
Biểu thức tọa độ của \({T_{\overrightarrow v }}\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x' = x - 2\\y' = y + 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' + 2\\y = y' - 5\end{array} \right.\)
Thay vào phương trình của (C) ta được
(x′ + 2)2 + (y′ − 5)2 − 2(x′ + 2) + 4(y′ − 5) – 4 = 0
⇔ x′2 + y′2 + 2x′ − 6y′ + 1 = 0
⇔ (x′ + 1)2 + (y′ − 3)2 = 9
Do đó (C') có phương trình (x + 1)2 + (y − 3)2 = 9.
