Đề bài
Gọi A′,B′ và C′ tương ứng là ảnh của ba điểmA,B và C qua phép đồng dạng. Chứng minh rằng nếu →AB=p→AC thì →A′B′=p→A′C′, trong đó p là một số. Từ đó chứng minh rằng phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì điểm B′ nằm giữa hai điểm A′ và C′.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định nghĩa phép đồng dạng tỉ số k biến M thành M′ và N thành N′ thì M′N′=kMN.
Lời giải chi tiết
Xét phép đồng dạng tỉ số k biến các điểm A,B,C thành A′,B′,C′.
Khi đó theo bài 1.39 ta có:
A′C′2=k2AC2,A′B′2=k2AB2,→A′C′.→A′B′=k2→AC.→AB.
Ta có: (→A′B′−p→A′C′)2=A′B′2−2p→A′B′.→A′C′+p2A′C′2
=k2(AB2−2p→AB.→AC+p2AC2)=k2(→AB−p→AC)2=0
Từ đó suy ra →A′B′−p→A′C′=→0
Giả sử ba điểm A,B,C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Khi đó →AB=p→AC, với 0<p<1. Khi đó →A′B′=p→A′C′, với 0<p<1.
Do đó ba điểm A′,B′,C′ thẳng hàng và điểm B′ nằm giữa hai điểm A′ và C′.
