Giải bài 1.54 trang 41 SBT đại số và giải tích 11

  •   

Đề bài

Tập giá trị của hàm số y=sin2x+3sinx+2

A. [2;5]

B. [54;3+3]

C. [43;3+3]

D. [54;4]

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tập giá trị của hàm số được giới hạn bởi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đó nên mục tiêu của bài là tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=sin2x+3sinx+2.

- Sử dụng hàm số y=sinx1sinx1,xR.

- Đặt t=sinx khi đó 1t1.

- Cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số dạng y=ax2+bx+c là thêm bớt để hàm số có chứa hằng đẳng thức, cụ thể như sau

Hàm số y=ax2+bx+c

=a(x2+bax)+c

=a[x2+2.x.b2a+(b2a)2]

a(b2a)2+c

=a(x+b2a)2a(b2a)2+c

Do (x+b2a)20 khi đó

ya(b2a)2+c

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y=ax2+bx+ca(b2a)2+c đạt được khi x=b2a.

Lời giải chi tiết

y=sinx1sinx1,xR

Đặt u=sinx khi đó 1u1

Hàm số y=sin2x+3sinx+2

y=u2+3u+2

- Tìm giá trị lớn nhất

Ta có 1u1 nên u21u1

Nên khi đó y=u2+3u+21+3.1+2

=3+3

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất là 3+3 tại u=1sinx=1.

- Tìm giá trị nhỏ nhất

Hàm số y=u2+3u+2

=[u2+2u32+(32)2]

(32)2+2

=(u+32)2+54

Do (u+32)20 khi đó

y54

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 54 đạt được khi u=32.

Vậy tập giá trị của hàm số là [54;3+3].

Cách trắc nghiệm:

Với sinx = -1 thì y = 3 - √3 < 4/3 nên các phương án A và C bị loại.

Với sinx = 1 thì y = 3 + √3 > 4 nên phương án D bị loại.