Đề bài
Tập giá trị của hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2\) là
A. \(\left[{2;5}\right]\)
B. \(\left[{\dfrac{5}{4};3+\sqrt{3}}\right]\)
C. \(\left[{\dfrac{4}{3};3+\sqrt{3}}\right]\)
D. \(\left[{\dfrac{5}{4};4}\right]\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tập giá trị của hàm số được giới hạn bởi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đó nên mục tiêu của bài là tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2\).
- Sử dụng hàm số \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\).
- Đặt \(t=\sin x\) khi đó \(-1\le t\le 1\).
- Cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số dạng \(y=ax^2+bx+c\) là thêm bớt để hàm số có chứa hằng đẳng thức, cụ thể như sau
Hàm số \(y=ax^2+bx+c\)
\(=a(x^2+\dfrac{b}{a}x)+c\)
\(=a\left[{x^2+2.x.\dfrac{b}{2a}+{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2}\right]-\)
\(a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)
\(=a{\left({x+\dfrac{b}{2a}}\right)}^2-a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)
Do \({\left({x+\dfrac{b}{2a}}\right)}^2 \ge 0\) khi đó
\(y\ge -a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=ax^2+bx+c\) là \(-a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\) đạt được khi \(x=-\dfrac{b}{2a}\).
Lời giải chi tiết
Vì \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)
Đặt \(u=\sin x\) khi đó \(-1\le u\le 1\)
Hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2 \)
\(\Leftrightarrow y=u^2 +\sqrt{3}u+2\)
- Tìm giá trị lớn nhất
Ta có \(-1\le u\le 1\) nên \(u^2\le 1\) và \(u\le1\)
Nên khi đó \(y=u^2 +\sqrt{3}u+2\le 1+\sqrt{3}.1+2\)
\(=3+\sqrt{3}\)
Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất là \(3+\sqrt{3}\) tại \(u=1\)\(\Leftrightarrow \sin x=1\).
- Tìm giá trị nhỏ nhất
Hàm số \(y=u^2 +\sqrt{3}u+2\)
\(=\left[{u^2+2u\dfrac{\sqrt{3}}{2}+{\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}\right]-\)
\({\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+2\)
\(={\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+\dfrac{5}{4}\)
Do \({\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2 \ge 0\) khi đó
\(y\ge \dfrac{5}{4}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\dfrac{5}{4}\) đạt được khi \(u=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Vậy tập giá trị của hàm số là \(\left[{\dfrac{5}{4};3+\sqrt{3}}\right]\).
Cách trắc nghiệm:
Với sinx = -1 thì y = 3 - √3 < 4/3 nên các phương án A và C bị loại.
Với sinx = 1 thì y = 3 + √3 > 4 nên phương án D bị loại.
