Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD).
a) Chứng minh BD ⊥ SC.
b) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC).
c) Cho SA = (a√6)/3. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: BD⊥AC (ABCD là hình vuông)
SA⊥(ABCD)⇒SA⊥BD
Do đó {BD⊥ACBD⊥SA ⇒BD⊥(SAC)⇒BD⊥SC
b) Ta có: {BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥(SAB)
Mà BC⊂(SBC) nên (SBC)⊥(SAB).
c) Vì SA⊥(ABCD) nên A là hình chiếu của S trên (ABCD).
Mà SC∩(ABCD)=C nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
Do đó góc giữa SC và (ABCD) bằng góc giữa SC và AC hay là góc ^SCA.
Ta có: AC=√AB2+BC2 =√a2+a2=a√2
Tam giác SAC vuông tại A nên tan^SCA=SAAC =a√63:a√2=√33 ⇒^SCA=300.
