Đề bài
Cho hàm số f(x)={x2sin1x nếu x≠0A nếu x=0
Xác định A để f(x) liên tục tại x = 0. Với giá trị A tìm được, hàm số có đạo hàm tại x = 0 không?
Lời giải chi tiết
Ta có: f(0)=A
lim
Hàm số liên tục tại x = 0
\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow A = 0\end{array}
Vậy A = 0.
Khi đó, f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\sin \frac{1}{x}\,\text{ nếu }\,x \ne 0\\0\,\text{ nếu }\,x = 0\end{array} \right.
\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x} - 0}}{{x - 0}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x\sin \frac{1}{x}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{x\sin \frac{1}{x}}}{{x.\frac{1}{x}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin \frac{1}{x}}}{{\frac{1}{x}}}} \right)\\ = 1\end{array}
Vậy f(x) có đạo hàm tại x = 0 và f'\left( 0 \right) = 1.
