Giải bài 1.13 trang 14 SBT đại số và giải tích 11

158 lượt xem

Đề bài

Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số $y = {\cos ^6}x + {\sin ^6}x$ tương ứng là

A. $\dfrac{1}{4}$ và $1$ B. $\dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{3}{4}$

C. $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ D. $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi ${\cos ^6}x + {\sin ^6}x$ về dạng biểu thức chỉ chứa $\sin f(x)$ hoặc $\cos f(x)$ .

Ta có $\left| {\sin f(x)} \right| \le 1$ và $\left| {\cos f(x)} \right| \le 1$ từ đó suy ra được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết

${\cos ^6}x + {\sin ^6}x=$

$({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)({\cos ^4}x - {\cos ^2}x{\sin ^2}x + {\sin ^4}x)$

$={({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)^2} - 3{\cos ^2}x{\sin ^2}x$

$= 1 - 3{(\dfrac{{\sin 2x}}{2})^2} = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x$

$\begin{array}{l} = 1 - \dfrac{3}{4}\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right)\\ = 1 - \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \end{array}$

$= \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x$

Mà $0 \le {\cos ^2}2x \le 1$

$\Rightarrow 0 \le \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \le \dfrac{3}{4}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \le 1$

$\Rightarrow \dfrac{1}{4} \le y \le 1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y$ là $\dfrac{1}{4}$ đạt được khi $\cos 2x = 0$ ,

Giá trị lớn nhất của hàm số $y$ là $1$ đạt được khi $\cos 2x = 1$ .

Đáp án A.

Cách trắc nghiệm:

Khi x = 0 thì y = 1 lớn hơn 3/4, lớn hơn √2/2 và lớn hơn √3/2, nên ba phương án B, C, D bị loại.