Đề bài
Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y = {\cos ^6}x + {\sin ^6}x\) tương ứng là
A. \(\dfrac{1}{4}\) và \(1\) B. \(\dfrac{3}{5}\) và \(\dfrac{3}{4}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) D. \(\dfrac{2}{3}\) và \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biến đổi \({\cos ^6}x + {\sin ^6}x\) về dạng biểu thức chỉ chứa \(\sin f(x)\) hoặc \(\cos f(x)\).
Ta có \(\left| {\sin f(x)} \right| \le 1\) và \(\left| {\cos f(x)} \right| \le 1\) từ đó suy ra được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Lời giải chi tiết
\({\cos ^6}x + {\sin ^6}x=\)
\(({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)({\cos ^4}x - {\cos ^2}x{\sin ^2}x + {\sin ^4}x)\)
\(={({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)^2} - 3{\cos ^2}x{\sin ^2}x\)
\(= 1 - 3{(\dfrac{{\sin 2x}}{2})^2} = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\)
\(\begin{array}{l}
= 1 - \dfrac{3}{4}\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right)\\
= 1 - \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x
\end{array}\)
\(= \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x\)
Mà \(0 \le {\cos ^2}2x \le 1 \)
\(\Rightarrow 0 \le \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \le \dfrac{3}{4}\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \le 1\)
\(\Rightarrow \dfrac{1}{4} \le y \le 1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y\) là \(\dfrac{1}{4}\) đạt được khi \(\cos 2x = 0\),
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y\) là \(1\) đạt được khi \(\cos 2x = 1\).
Đáp án A.
Cách trắc nghiệm:
Khi x = 0 thì y = 1 lớn hơn 3/4, lớn hơn √2/2 và lớn hơn √3/2, nên ba phương án B, C, D bị loại.
