Đề bài
Cho nửa đường tròn đường kính AB. Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường tròn, hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB của nửa đường tròn đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để xác định của một điểm M ta xem nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép vị tự.
Lời giải chi tiết
Gọi O là trung điểm củaAB. Giả sử dựng được hình vuông MNPQ có M, N thuộc đường kính AB, P, Q thuộc nửa đường tròn. Khi đó O phải là trung điểm của MN. Nếu lấy một hình vuông M′N′P′Q′ sao cho M′, N′ thuộc AB, O là trung điểm của M′N′ khi đó ta thấy OMOM′=ONON′=OPOP′=OQOQ′
Từ đó suy ra hình vuông MNPQ là ảnh của hình vuông M′N′P′Q′ qua phép vị tự tâm O, suy ra O, P, P′ và O, Q, Q′ thẳng hàng.
Vậy ta có cách dựng:
- Dựng hình vuông M′N′P′Q′ nằm trong nửa hình tròn đã cho sao cho M′N′ thuộc AB và O là trung điểm của M′N′. Tia OP′ cắt nửa đường tròn tại P; tia OQ′ cắt nửa đường tròn tại Q .
Khi đó dễ thấy tứ giác MNPQ là hình vuông cần dựng.
