Đề bài
Giải phương trình sau
\(3\sin x-4\cos x=1\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
-Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)
Biến đổi \(VT\) phương trình về dạng
\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\)
trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\)
-Sử dụng công thức \(\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b\) để thu gọn phương trình
-Phương trình \(\sin x=a\)
Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm
Nếu \(|a|\le 1\) khi đó phương trình có nghiệm là
\(x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
và \(x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(3\sin x-4\cos x=1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\sin x-\dfrac{4}{5}\cos x=\dfrac{1}{5}\)
Đặt \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\) và \(\sin\alpha =\dfrac{4}{5}\) ta được
\(\cos \alpha\sin x-\sin \alpha\cos x=\dfrac{1}{5}\)
\(\Leftrightarrow \sin (x-\alpha)=\dfrac{1}{5}\)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x-\alpha = \arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x-\alpha=\pi-\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x=\alpha +\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=\alpha+\pi-\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=\alpha +\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\alpha+\pi-\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
