Giải phương trình f′(x)=g(x), biết rằng
LG a
f(x)=1−cos3x3;g(x)=(cos6x−1)cot3x.
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm f′(x) và giải phương trình
Lời giải chi tiết:
f(x)=1−cos3x3⇒f′(x)=sin3x. Ta có
f′(x)=g(x)⇔(cos6x−1).cot3x=sin3x (điều kiện: sin3x≠0⇔cos3x≠±1 )
\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {\cos 6x - 1} \right).\cos 3x = {\sin ^2}3x \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - 2{{\sin }^2}3x - 1} \right).\cos 3x = {\sin ^2}3x \cr & \Leftrightarrow {\sin ^2}3x.\left( {2\cos 3x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos 3x = - {1 \over 2}{\rm{ }}\left( {{\rm{vì}}\,\,\sin 3x \ne 0{\rm{ }}} \right) \cr & \Leftrightarrow \cos 3x = \cos {{2\pi } \over 3} \cr & \Leftrightarrow 3x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = \pm {{2\pi } \over 9} + k{{2\pi } \over 3}{\rm{ }}\left( {k \in Z} \right). \cr}
LG b
f\left( x \right) = {1 \over 2}\cos 2x;g\left( x \right) = 1 - {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2}.
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm f'(x) và giải phương trình.
Lời giải chi tiết:
f\left( x \right) = {1 \over 2}\cos 2x \Rightarrow f'\left( x \right) = - \sin 2x. Ta có
\eqalign{ & f'\left( x \right) = g\left( x \right) \cr & \Leftrightarrow - \sin 2x = 1 - {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = 1 + 2\sin 3x\cos 3x \cr & \Leftrightarrow \sin 6x - \sin 2x = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\cos 4x\sin 2x = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos 4x = 0 \hfill \cr \sin 2x = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 4x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr 2x = n\pi \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 4} \hfill \cr x = n{\pi \over 2} \hfill \cr} \right.\left( {k,n \in Z} \right). \cr}
LG c
f\left( x \right) = {1 \over 2}\sin 2x + 5\cos x;g\left( x \right) = 3{\sin ^2}x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}}.
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm f'(x) và giải phương trình.
Lời giải chi tiết:
f\left( x \right) = {1 \over 2}\sin 2x + 5\cos x \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos 2x - 5\sin x. Ta có
\eqalign{ & f'\left( x \right) = g\left( x \right) \cr & \Leftrightarrow \cos 2x - 5\sin x = 3{\sin ^2}x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow 5\sin x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}} = \cos 2x - 3{\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow 5\sin x + 3{\cos ^2}x = {\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow 5\sin x = - 2{\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow 5\sin x = - 2 - 2{\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 2 = 0. \cr}
Đặt t = \sin x,t \in \left[ { - 1;1} \right], ta có phương trình 2{t^2} + 5t + 2 = 0.
Giải phương trình t = - {1 \over 2} ta được (loại t = -2 ).
\eqalign{ & \sin x = - {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.\left( {k \in Z} \right). \cr}
