Đề bài
Nghiệm của phương trình \(3(\cos x-\sin x)-\sin x\cos x=-3\) là
A. \(\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) và \(\pi+k2\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\)
B. \(\pi+k2\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\)
C. \(\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}\)
D. \(\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đặt \(t=\cos x-\sin x\)
\(=\sqrt{2}\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)\) nên \(-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\)
Khi đó \(t^2={\cos}^2 x-2\cos x\sin x+{\sin}^2 x\)
\(=1-2\cos x\sin x\) từ đó rút được \(\sin x\cos x\) theo t
giải phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)
Ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\).
Tùy và từng bài mà ta đặt \(\sin \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) và \(\cos \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) hay \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) và \(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Sau đó tùy từng dạng phương trình thu được mà ta đưa về dạng \(\cos\) của một tổng hoặc \(\cos\) của một hiệu hoặc \(\sin\) của một tổng \(\sin\) của một hiệu.
Lời giải chi tiết
Đặt \(t=\cos x-\sin x\)
\(\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)\)
Do \(-1\le\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)\le 1\) nên \(-\sqrt{2}\le\sqrt{2}\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)\le \sqrt{2}\)
Khi đó \(-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\)
Ta có \(t^2={\cos}^2 x-2\cos x\sin x+{\sin}^2 x\)
\(=1-2\cos x\sin x\)
Suy ra \(\sin x\cos x=\dfrac{1-t^2}{2}\) thay vào phương trình ta được
\(3t-\dfrac{1-t^2}{2}=-3\)
\(\Leftrightarrow 6t-1+t^2=-6\)
\(\Leftrightarrow t^2+6t+5=0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-5<-\sqrt{2}\text{(loại)}\\ t =-1\end{array} \right.\)
Với \(t=-1\Leftrightarrow \cos x-\sin x=-1\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2}\cos(\dfrac{\pi}{4}+x)=-1\)
\(\Leftrightarrow \cos(\dfrac{\pi}{4}+x)=\cos\dfrac{3\pi}{4}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{4}+x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\\ x=-\pi+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là \( x=k2\pi,k\in\mathbb{Z}\) và \( x =-\pi+k2\pi=\pi+l2\pi,k,l\in\mathbb{Z} \)
Đáp án: A.
Cách trắc nghiệm:
Xét các phương án
Phương án A có hai khả năng, nên ta xét các phương án khác đơn giản hơn.
• Với x = kπ trong phương án B, khi k = 2 thì vế trái của phương trình đã cho bằng 3, nên phương án B bị loại.
• Với x = π/4 thì cosx – sinx = 0, sinx.cosx = 1/2 nên π/4 không phải là nghiệm. Do đó phương án C bị loại.
• Với x = π/6 thì vế trái của phương trình đã cho là:
\(3\left( {\cos \frac{\pi }{6} - \sin \frac{\pi }{6}} \right) - \sin \frac{\pi }{6}\cos \frac{\pi }{6}\) \( = \frac{{3\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{4} \ne - 3\) nên phương án D bị loại.
