Đề bài
Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm trong tam giác BCD.
a) Dựng đường thẳng qua M song song với hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). Giả sử đường thẳng này cắt mặt phẳng (ACD) tại B′.
Chứng minh rằng AB′, BM và CD đồng quy tại một điểm.
b) Chứng minh MB′BA=dt(ΔMCD)dt(ΔBCD).
c) Đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ACB) và (ACD) kẻ từ M cắt (ABD) tại C′ và đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ADC) và ADB) kẻ từ M cắt (ABC) tại D′.
Chứng minh rằng MB′BA+MC′CA+MD′DA=1 .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
{(α)∥d(β)∥d(α)∩(β)=d′⇒d∥d′
Sử dụng định lý Talet.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
{MB′∥(ABC)MB′∥(ABD)(ABC)∩(ABD)=AB
⇒MB′∥AB
Do MB′∥AB nên MB′ và AB xác định một mặt phẳng. Gọi MB∪AB′≡I.
Khi đó I∈BM⇒I∈(BCD)
I∈AB′⇒I∈(ACD)
Nên I∈(BCD)∩(ACD)=CD,
I∈CD
Vậy ba đường thẳng AB′, BM và CD đồng quy tại I.
b) MB′∥AB⇒MB′AB=IMIB
Kẻ MM′⊥CD và BH⊥CD
Ta có: MM′∥BH⇒IMIB=MM′BH
Mặt khác:
{dt(ΔMCD)=12CD.MM′dt(ΔBCD)=12CD.BH
⇒dt(ΔMCD)dt(ΔBCD)=12CD.MM′12CD.BH
=MM′BH
Do đó: MB′AB=IMIB
=MM′BH=dt(ΔMCD)dt(ΔBCD).
Vậy MB′AB=dt(ΔMCD)dt(ΔBCD).
c) Tương tự ta có:
MC′CA=dt(ΔMBD)dt(ΔBCD)
MD′DA=dt(ΔMBC)dt(ΔBCD)
Vậy:
MB′BA+MC′CA+MD′DA
=dt(ΔMCD)dt(ΔBCD)+dt(ΔMBD)dt(ΔBCD)+dt(ΔMBC)dt(ΔBCD)
=dt(ΔMCD)+dt(ΔMBD)+dt(ΔMBC)dt(ΔBCD)
=1 .
Logiaihay.com
