Đề bài
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 1 - \cos x - \sin x\) là
A. \( - \dfrac{1}{2}\) B. \( - 1\)
C. \(1 - \sqrt 2 \) D. \( - \sqrt 2 \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tổng thành tích để rút gọn hàm số.
Hàm số \(y=\cos x\) có \(\cos x\le 1\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(y=1-\cos x - \sin x\)
\(=1-(\cos x + \sin x)\)
\(=1-[ \cos x + \cos (\dfrac{\pi }{2} - x)]\)
\( =1 - 2\cos \dfrac{\pi }{4}\cos (x - \dfrac{\pi }{4})\)
\( = 1 - 2.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\)
\( =1- \sqrt 2 \cos (x - \dfrac{\pi }{4})\)
Mà \(\cos (x - \dfrac{\pi }{4})\le 1\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow - \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \ge - \sqrt 2 \\
\Rightarrow 1 - \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \ge 1 - \sqrt 2
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow y\ge 1-\sqrt2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y\) là \(1-\sqrt 2 \) đạt được khi \(x = \dfrac{\pi }{4}\).
Đáp án C.
Chú ý:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất.
Mà (cosx + sinx)2 = 1 + sin2x ≤ 2.
Giá trị lớn nhất của (cosx + sinx)2 bằng 2, đạt được khi sin2x = 1.
Vậy cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất bằng √2.
Từ đó suy ra GTNN của hàm số đã cho.
