Đề bài
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=1−cosx−sinx là
A. −12 B. −1
C. 1−√2 D. −√2
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tổng thành tích để rút gọn hàm số.
Hàm số y=cosx có cosx≤1
Lời giải chi tiết
Ta có:
y=1−cosx−sinx
=1−(cosx+sinx)
=1−[cosx+cos(π2−x)]
=1−2cosπ4cos(x−π4)
=1−2.√22cos(x−π4)
=1−√2cos(x−π4)
Mà cos(x−π4)≤1
⇒−√2cos(x−π4)≥−√2⇒1−√2cos(x−π4)≥1−√2
⇔y≥1−√2
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y là 1−√2 đạt được khi x=π4.
Đáp án C.
Chú ý:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất.
Mà (cosx + sinx)2 = 1 + sin2x ≤ 2.
Giá trị lớn nhất của (cosx + sinx)2 bằng 2, đạt được khi sin2x = 1.
Vậy cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất bằng √2.
Từ đó suy ra GTNN của hàm số đã cho.
