Đề bài
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội là q và số các số hạng là chẵn. Gọi \({S_c}\) là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và \({S_l}\) là tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Chứng minh rằng :\(q = \dfrac{{{S_c}}}{{{S_l}}}.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi số hạng thứ nhất của cấp số nhân là \({u_1}\) và công bội là \(q\)
Lập công thức tính \({S_c},{S_l}\) và suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết
Gọi số hạng thứ nhất của cấp số nhân là \({u_1}\) và công bội là \(q\)
Giả sử CSN có \(2n\) số hạng.
Ta có
\(\begin{array}{l}
{S_l} = {u_1} + {u_3} + ... + {u_{2n - 1}}\\
= {u_1} + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}.{q^{2n - 2}}\,\,(1)\\
{S_c} = {u_2} + {u_4} + ... + {u_{2n}}\\
= {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{2n - 1}}\,\,(2)
\end{array}\)
Nhân hai vế của (1) với q ta có
\(q{S_l} = {u_1}q + {u_1}{q^3} + ... +u_1q^{2n-1}= {S_c}\)
Vậy \(q = \dfrac{{{S_c}}}{{{S_l}}}.\)
