Chọn đáp án đúng:
4.44
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa a. Hàm số f(x) liên tục tại x = a nếu:
A. \(f\left( x \right)\) có giới hạn hữu hạn khi \(x \to a\)
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = + \infty \)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = a\)
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số f(x) liên tục tại x = a nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\).
Chọn đáp án D.
4.45
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + x}}\,neu\,x \ne - 1\\3x + a\,neu\,x = - 1\end{array} \right.\)
Với giá trị nào của tham số a thì hàm số f(x) liên tục tại x = -1?
A. a = 2 B. a = 4
C. a = 3 D. a = 6
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = 3.\left( { - 1} \right) + a = a - 3\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x + 2}}{x}\\ = \dfrac{{ - 1 + 2}}{{ - 1}}\\ = - 1\end{array}\)
Hàm số liên tục tại \(x = - 1\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow - 1 = a - 3 \Leftrightarrow a = 2\).
Chọn đáp án: A.
4.46
Phương trình x4 - 3x2 + 1 = 0
A. Không có nghiệm trong (-1; 3)
B. Không có nghiệm trong (0; 1)
C. Có ít nhất hai nghiệm
D. Chỉ có một nghiệm duy nhất
Phương pháp giải:
Tính f(0), f(1), f(3) và nhận xét về dấu của chúng để kết luận.
Lời giải chi tiết:
Xét hàm \(f\left( x \right) = {x^4} - 3{x^2} + 1\) trên \(\left( {0;1} \right),\left( {1;3} \right)\) ta có:
Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên các khoảng đó.
\(f\left( 0 \right) = 1 > 0\)
\(f\left( 1 \right) = - 1 < 0\)
\(f\left( 3 \right) = 55 > 0\)
Do đó \(f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {0;1} \right)\)
\( \Rightarrow \) A, B sai.
Lại có \(f\left( 1 \right).f\left( 3 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {1;3} \right)\)
\( \Rightarrow \) phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm.
Chọn đáp án: C
