Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên AA′ và CC′. Một điểm P nằm trên cạnh bên DD′.
a) Xác định giao điểm Q của đường thẳng BB′ với mặt phẳng (MNP).
b) Mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo một thiết diện. Thiết diện đó có tính chất gì?
c) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD) của hình hộp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) ta tìm giao điểm của hai đường thẳng d và d′ trong đó d′⊂(α).
Sử dụng tính chất: Cho hai mặt phẳng song song với nhau. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Lời giải chi tiết
a) Ta có (AA′,DD′)∥(BB′,CC′)
(MNP)∩(AA′,DD′)=MP
Suy ra giao tuyến của (MNP) và (BB′,CC′) song song với MP.
Ta có N∈(MNP)∩(BB′,CC′)
⇒(MNP)∩(BB′,CC′)=Nx,
Nx∥MP.
⇒(MNP)∩(BB′,CC′)
=Nx∩BB′=Q
b) Ta có
(MNP)∩AA′, BB′, CC′, DD′ lần lượt tại M, P, N, Q.
⇒(MNP) cắt hình hộp theo thiết diện MPNQ.
Ta có
{(AA′,BB′)∥(DD′,CC′)(MNP)∩(AA′,BB′)=MQ(MNP)∩(DD′,CC′)=PN
⇒MQ∥PN
Mà theo câu a) MP∥NQ
⇒ tứ giác MQNP là hình bình hành.
Vậy (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện MPNQ là hình bình hành.
c) Th1: P không phải là trung điểm của DD′
Gọi H=PN∩DC,K=MP∩AD. Ta có d=HK là giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD) của hình hộp. Chú ý rằng giao điểm E=AB∩MQ cũng nằm trên giao tuyến d nói trên.
Th2: P là trung điểm của DD′
Khi đó MP∥AD,AD⊂(ABCD)
⇒MP∥(ABCD)
Và PN∥DC,DC⊂(ABCD)
⇒PN∥(ABCD)
Mà MP,PN⊂(MNP)
⇒(MNP)∥(ABCD) khi đó hai mặt phẳng không có giao tuyến.
