Chọn đáp án đúng:
4.13
Giới hạn của dãy số (un) với \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\) là:
A. 0 B. 1
C. -1 D. Không tồn tại
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({u_n} = \left\{ \begin{array}{l}1\,neu\,n = 2k\\ - 1\,neu\,n = 2k + 1\end{array} \right.\)
Do đó, không thể xảy ra trường hợp un → a hoặc un → ±∞ khi n → +∞.
Nói cách khác, dãy đã cho không có giới hạn.
Chọn đáp án: D
4.14
\(\lim \dfrac{{{{\left( {2 - 3n} \right)}^2}\left( {n + 1} \right)}}{{1 - 4{n^3}}}\) bằng:
A. 3/4 B. 0 C. 9/4 D. -9/4
Phương pháp giải:
Tính giới hạn bằng cách chia tử số và mẫu số cho n3.
Lời giải chi tiết:
Cách tự luận:
\(\lim \dfrac{{{{\left( {2 - 3n} \right)}^2}\left( {n + 1} \right)}}{{1 - 4{n^3}}}\)\( = \lim \dfrac{{{{\left[ {n\left( {\dfrac{2}{n} - 3} \right)} \right]}^2}.n\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{{n^3}\left( {\dfrac{1}{{{n^3}}} - 4} \right)}}\) \( = \lim \dfrac{{{n^3}{{\left( {\dfrac{2}{n} - 3} \right)}^2}\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{{n^3}\left( {\dfrac{1}{{{n^3}}} - 4} \right)}}\)
\( = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{n} - 3} \right)}^2}\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{\dfrac{1}{{{n^3}}} - 4}}\) \( = \dfrac{{{{\left( {0 - 3} \right)}^2}\left( {1 + 0} \right)}}{{0 - 4}} = \dfrac{{ - 9}}{4}\)
Cách trắc nghiệm: Tử số và mẫu số là các đa thức cùng bậc, có hệ số của số hạng bậc cao nhất tương ứng là 9 và -4.
Vậy giới hạn bằng (-9)/4.
Chọn đáp án: D
4.15
\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right)n\) bằng:
A. 0 B. -3 C. -3/2 D. +∞
Phương pháp giải:
Tính giới hạn bằng cách nhân và chia với biểu thức liên hợp của \(\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2} \) (chính là \(\sqrt {{n^2} - 1} + \sqrt {{n^2} + 2} \))
Lời giải chi tiết:
\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right)n\)
\(\begin{array}{l} = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right)\left( {\sqrt {{n^2} - 1} + \sqrt {{n^2} + 2} } \right)n}}{{\sqrt {{n^2} - 1} + \sqrt {{n^2} + 2} }}\\ = \lim \dfrac{{\left( {{n^2} - 1 - {n^2} - 2} \right).n}}{{\sqrt {{n^2} - 1} + \sqrt {{n^2} + 2} }}\\ = \lim \dfrac{{ - 3n}}{{\sqrt {{n^2}\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)} + \sqrt {{n^2}\left( {1 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right)} }}\\ = \lim \dfrac{{ - 3n}}{{n\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} + n\sqrt {1 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}\\ = \lim \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}\\ = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt {1 + 0} + \sqrt {1 + 0} }} = - \dfrac{3}{2}\end{array}\)
Chọn đáp án: C
4.16
Nếu S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + ... + (0,9)n-1+ ... thì:
A. S = 10 B. S = 2
C. S = +∞ D. Không thể tính được S
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).
Lời giải chi tiết:
Tổng \(S\) là tổng CSN lùi vô hạn có \({u_1} = 1,q = 0,9\)
Vậy \(S = \dfrac{1}{{1 - 0,9}} = 10\).
Chọn đáp án: A
4.17
\(\lim \dfrac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{3^n} + {2^n}}}\) bằng:
A. 0 B. +∞ C. -∞ D. -4/3
Phương pháp giải:
Chia tử số và mẫu số cho 4n.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\lim \dfrac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{3^n} + {2^n}}}\\ = \lim \dfrac{{{4^n}\left( {\dfrac{{{3^n}}}{{{4^n}}} - 1 - \dfrac{1}{{{4^n}}}} \right)}}{{{4^n}\left( {\dfrac{{{3^n}}}{{{4^n}}} + \dfrac{{{2^n}}}{{{4^n}}}} \right)}}\\ = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} - 1 - \dfrac{1}{{{4^n}}}}}{{{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} + {{\left( {\dfrac{2}{4}} \right)}^n}}}\end{array}\)
Vì \(\lim \left[ {{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} - 1 - \dfrac{1}{{{4^n}}}} \right]\) \( = 0 - 1 - 0 = - 1 < 0\) và \(\lim \left[ {{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} + {{\left( {\dfrac{2}{4}} \right)}^n}} \right] = 0 + 0 = 0\) và \({\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^n} + {\left( {\dfrac{2}{4}} \right)^n} > 0\) nên \(\lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} - 1 - \dfrac{1}{{{4^n}}}}}{{{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} + {{\left( {\dfrac{2}{4}} \right)}^n}}} = - \infty \)
Vậy \(\lim \dfrac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{3^n} + {2^n}}} = - \infty \).
Chọn đáp án: C
