Đề bài
Hệ số của \(x^{31}\) trong khai triển của \({\left( {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}}\) là :
A. \(9880\) B. \(9980\)
C. \(10080\) D. \(10980\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức SHTQ trong khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {a + b} \right)^n} \) là:
\(T_{k+1}= C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\) với \(a=x, b=\dfrac{1}{x^2}, n=40\).
Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: \(x^m.x^n=x^{m+n}\); \(\dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n}\) để thu gọn biểu thức.
Để tìm hệ số của \(x^{31}\) ta cho số mũ của \(x\) bằng \(31\), giải phương trình tìm \(k\) và tính hệ số của \(x^{31}\).
Lời giải chi tiết
SHTQ trong khai triển \({\left( {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}} \) là:
\(T_{k+1}= {C_{40}^k} {x^{40 - k}}{\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} \)
\(= {C_{40}^k{x^{40 - k - 2k}} = } {C_{40}^k{x^{40 - 3k}}} \)
Hệ số của số hạng chứa \(x^{31}\) ứng với \(40-3k=31\) \(\Leftrightarrow k=3\)
Vậy hệ số của \(x^{31}\) là \(C_{40}^3=9880\)
Đáp án: A.
