Đề bài
Hình thoi ABCD tâm O, có cạnh a và có OB = (a√3)/3. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O ta lấy một điểm S sao cho SB = a.
a) Chứng minh tam giác SAC là tam giác vuông và SC vuông góc với BD.
b) Chứng minh (SAD) ⊥ (SAB), (SCB) ⊥ (SCD).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.
Lời giải chi tiết
a) Hai tam giác vuông SOB và AOB có cạnh OB chung và SB=AB=a nên bằng nhau.
Do dó SO=OA=OC nên tam giác SAC vuông tại S.
Mặt khác, vì \(BD \bot AC\) và \(BD \bot SO\) nên \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) \( \Rightarrow BD \bot SC\).
b) Gọi I là trung điểm SA.
Vì BS=BA=a nên tam giác BSA cân tại B \( \Rightarrow BI \bot SA\).
Vì DS=DA=a nên \(DI \bot SA\).
Mà \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\) nên góc giữa (SAB) và (SAD) là \(\widehat {BID}\).
Trong tam giác vuông AOB có:
\(OA = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\) (vì \(OB = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\))
Vì SO=OA nên \(OI = \dfrac{{OA\sqrt 2 }}{2}\) \( = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Do đó \(OI = OB = OD\) nên tam giác IBD vuông tại I hay \(\widehat {BID} = {90^0}\)
Vậy \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAD} \right)\).
Tương tự có \(\left( {SCB} \right) \bot \left( {SCD} \right)\).
c) Dễ thấy \(OI \bot SA\) do tam giác SOA cân tại O.
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BD \bot \left( {SOA} \right) \Rightarrow BD \bot OI\)
Do đó OI là đoạn vuông góc chung của BD và SA.
Vậy \(d\left( {BD,SA} \right) = OI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
