Đề bài
Một hộp chứa \(10\) quả cầu được đánh số từ \(1\) đến \(10\), đồng thời các quả từ \(1\) đến \(6\) được sơn màu đỏ. Lấy ngẫu nhiễn một quả. Kí hiệu \(A\) là biến cố: “Quả lấy ra màu đỏ”, \(B\) là biến cố: “Quả lấy ra ghi số chẵn”. Hỏi \(A\) và \(B\) có độc lập không?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta có biến cố \(A\) và \(B\) độc lập khi và chỉ khi \(P(A.B)=P(A).P(B)\)
Do đó để chứng minh bài này ta tính \(P(A.B)\) và \(P(A).P(B)\) rồi so sánh chúng có bằng nhau hay không. Nếu có bằng nhau khi đó hai biến cố độc lập, nếu không bằng nhau khi đó hai biến cố không độc lập.
Để tính xác suất của biến cố \(A\).
+) Tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega)\).
+) Tính số phần tử của biến cố \(A\): \(n(A)\).
+) Tính xác suất của biến cố \(A\): \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}\).
Lời giải chi tiết
Kí hiệu \(A\) là biến cố: “Quả lấy ra màu đỏ” ;
và \(B\) là biến cố: “Quả lấy ra ghi số chẵn”.
Không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {1,2,...,10} \right\}\) khi đó \(n(\Omega)=10\)
Biến cố \(A = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}\) khi đó \(n(A)=6\)
Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{6}{{10}} = \dfrac{3}{5}\)
Biến cố \(B = \left\{ {2,4,6,8,10} \right\}\) khi đó \(n(B)=5\)
Xác suất của biến cố \(B\) là \(P\left( B \right) = \dfrac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{5}{{10}} = \dfrac{1}{2}\)
Và \(A \cap B = \left\{ {2,4,6} \right\}\) khi đó \(n(A\cap B)=n(A.B)=3\) nên \({\rm{P}}\left( {AB} \right) = P(A \cap B) = \dfrac{3}{{10}}\)
Ta thấy \(P\left( {A.B} \right) = \dfrac{3}{{10}} = \dfrac{3}{5}.\dfrac{1}{2} = P\left( A \right)P\left( B \right)\)
Vậy \(A\) và \(B\) độc lập.
