Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) với SA=a√6.
a) Tính khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC)
Lời giải chi tiết
a) Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a nên ta có: AD∥BC và AB=BC=CD=a, đồng thời AC⊥CD,AB⊥BD,AC=BD=a√3.
Như vậy
CD⊥ACCD⊥SA}⇒CD⊥(SAC)
Trong mặt phẳng (SAC) dựng AH ⊥ SC tại H ta có AH ⊥ CD và AH ⊥ SC nên AH ⊥ (SCD)
Vậy AH = d(A,(SCD))
Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao, ta có:
1AH2=1SA2+1AC2=1(a√6)2+1(a√3)2=12a2
Vậy AH2=2a2⇒AH=a√2
Gọi I là trung điểm của AD ta có BI∥CD nên BI song song với mặt phẳng (SCD). Từ đó suy ra d(B,(SCD))=d(I,(SCD)).
Mặt khác AI cắt (SCD) tại D nên
d(I,(SCD))=12d(A,(SCD))=12.a√2=a√22
Do đó: d(B,(SCD))=a√22
b) Vì AD∥BC nên AD∥(SBC), do đó d(AD,(SBC))=d(A,(SBC))
Dựng AD⊥BC tại E⇒BC⊥(SAE)
Dựng AD⊥SE tại F ta có:
AF⊥SEAF⊥BC(vìBC⊥(SAE))}⇒AF⊥(SBC)
Vậy AF=d(A,(SBC))=d(AD,(SBC))
Xét tam giác vuông AEB ta có: AE=ABsin^ABE=asin600=a√32
Xét tam giác SAE vuông tại A ta có:
1AF2=1SA2+1AE2=1(a√6)2+1(a√32)=96a2
Do đó AF2=6a29⇒AF=a√63
Vậy d(AD,(SBC))=AF=a√63
