Giải các phương trình sau
LG a
\(\cos 2x -\sin x -1 = 0\)
Phương pháp giải:
Dùng công thức nhân đôi biến đổi \(\cos 2x =1-2{\sin}^2 x\) để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\cos 2x -\sin x -1 = 0\)
\(\Leftrightarrow 1-2{\sin}^2 x-\sin x-1=0\)
\(\Leftrightarrow \sin x(2\sin x+1)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\\sin x= -\dfrac{1}{2}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi ,k\in\mathbb{Z}\\x= -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \).
LG b
\(\cos x\cos 2x=1+\sin x\sin 2x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức cosin của tổng \(\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\) đẻ rút gọn phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\cos x\cos 2x=1+\sin x\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow \cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x=1\)
\(\Leftrightarrow \cos 3x=1\)
\(\Leftrightarrow 3x=k2\pi\)
\(\Leftrightarrow x=k\dfrac{2\pi}{3} ,k\in\mathbb{Z}\).
LG c
\(4\sin x\cos x\cos 2x=-1\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) để rút gọn phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(4\sin x\cos x\cos 2x=-1\)
\(\Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x=-1\)
\(\Leftrightarrow \sin 4x=-1\)
\(\Leftrightarrow 4x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k\in\mathbb{Z}\).
LG d
\(\tan x=3\cot x\).
Phương pháp giải:
Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Sử dụng công thức \(\cot x=\dfrac{1}{\tan x}\) để rút gọn phương trình.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos x \ne 0\\\sin x\ne 0\end{array} \right. \)
Ta có: \(\tan x=3\cot x\)
\(\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{3}{\tan x}\)
\(\Leftrightarrow {\tan}^2 x=3\)
\(\Leftrightarrow \tan x=\pm\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình nên là nghiệm của phương trình đã cho.
