Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có
LG a
2n>2n+12n>2n+1 ;
Phương pháp giải:
- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.
- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh
Lời giải chi tiết:
Dùng phép thử với n=1,2,3,4n=1,2,3,4ta dự đoán: Với n≥3n≥3 thì bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.
+) Với n=3,n=3, hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì 23=8>2.3+1=7.23=8>2.3+1=7.
+) Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k,n=k, tức là 2k>2k+1(1)2k>2k+1(1)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k+1,n=k+1, tức là
2k+1>2k+3(2)2k+1>2k+3(2)
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được
2k+1>4k+2=2k+3+2k−1>2k+3.2k+1>4k+2=2k+3+2k−1>2k+3.
LG b
2n>n2+4n+52n>n2+4n+5
Phương pháp giải:
- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.
- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Dùng phép thử.
+) Với n từ 1 đến 6, bất đẳng thức đều không đúng. Tuy nhiên không thể vội vàng kết luận bất phương trình vô nghiệm.
+) Nếu thử tiếp ta thấy rằng bất phương trình đúng khi n=7,8,...n=7,8,...
Ta chứng minh: Với n≥7n≥7 thì 2n>n2+4n+52n>n2+4n+5 bằng quy nạp.
+) Với n=7n=7 thì VT=27=128VT=27=128
VP=72+4.7+5=82VP=72+4.7+5=82
VT > VP nên bđt đúng.
+) Giả sử bđt đúng với n=k≥7n=k≥7, nghĩa là
2k>k2+4k+52k>k2+4k+5 (1)
Ta chứng minh bđt đúng với n=k+1n=k+1 nghĩa là 2k+1>(k+1)2+4(k+1)+52k+1>(k+1)2+4(k+1)+5 hay 2k+1>k2+6k+10
Thật vậy,
Nhân cả hai vế của (1) với 2 ta được:
2k+1>2k2+8k+10=(k2+6k+10)+k2+2k
>k2+6k+10 ⇒2k+1>k2+6k+10
Vậy ta có đpcm.
LG c
3n>2n+7n
Phương pháp giải:
- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.
- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Với n=0,1,2,3 thì bất đẳng thức không đúng.
Với n=4,5,... thì ta thấy bất đẳng thức đúng.
Dự đoán 3n>2n+7,∀n≥4.
Thật vậy, với n=4 thì VT=34>24+7.4=VP.
Giả sử bđt đúng với n=k≥4, nghĩa là 3k>2k+7k(1).
Ta cần chứng minh 3k+1>2k+1+7(k+1).
Nhân của hai vế của (1) với 3 ta được 3.3k>3.2k+21k ⇔3k+1>3.2k+21k >2.2k+7k+14k >2.2k+7k+7=2k+1+7(k+1)
Vậy n≥4.
