Đề bài
Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các cấp số ấy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi công sai của CSC là \(d\) và công bội của \(CSN\) là \(q\).
Lập và giải hệ phương trình ẩn \(d,q\) suy ra đáp số.
Lời giải chi tiết
Gọi công sai của CSC \(\left( {{u_n}} \right)\) là \(d\) và công bội của CSN \(\left( {{v_n}} \right)\) là \(q\).
Ta có: \({u_2} = 5 + d,{v_2} = 5q\) nên \(5 + d = 5q + 10\) \( \Leftrightarrow d = 5 + 5q\)
\({u_3} = 5 + 2d,{v_3} = 5{q^2}\) nên \(5 + 2d = 5{q^2}\)
Thay \(d = 5 + 5q\) vào phương trình trên được:
\(5 + 2\left( {5 + 5q} \right) = 5{q^2}\) \( \Leftrightarrow 5{q^2} - 10q - 15 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = - 1\end{array} \right.\)
Nếu \(q = 3\) thì \(d = 20\), ta có:
Cấp số cộng \(5,25,45.\)
Cấp số nhân \(5,15,45.\)
Nếu \(q = - 1\) thì \(d = 0\), ta có:
CSC: \(5;5;5\) và CSN: \(5; - 5;5\).
