Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Trên ba cạnh AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B′,C′,D′ sao cho đường thẳng B′C′ cắt đường thẳng BC tại K, đường thẳng C′D′ cắt đường thẳng CD tại J, đường thẳng D′B′ cắt đường thẳng DB tại I.
a) Chứng minh ba điểm I,J,K thẳng hàng.
b) Lấy điểm M ở giữa đoạn thẳng BD; điểm N ở giữa đoạn thẳng CD sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC và điểm F nằm bên trong tam giác ABC. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNF).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh ba điểm I,J,K cùng thuộc giao tuyến của (CBD) và (C′B′D′).
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNF) với các mặt của ABCD.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
K=B′C′∩BC⇒{K∈B′C′⊂(B′C′D′)K∈BC⊂(BCD) ⇒K∈(B′C′D′)∩(BCD)
J=C′D′∩CD⇒{J∈C′D′⊂(B′C′D′)J∈CD⊂(BCD) ⇒J∈(B′C′D′)∩(BCD)
Do đó KJ=(B′C′D′)∩(BCD).
Mà I=B′D′∩BD⇒{I∈B′D′⊂(B′C′D′)I∈BD⊂(BCD) ⇒I∈(B′C′D′)∩(BCD)=KJ
Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng.
b) Trong (BCD), gọi R=MN∩BC.
Trong (ABC), gọi P,Q lần lượt là giao điểm của RF với AB, AC.
Khi đó
(MNF)∩(BCD)=MN(MNF)∩(ACD)=NQ(MNF)∩(ABC)=QP(MNF)∩(ABD)=PM
Vật thiết diện là tứ giác MNQP.
