Giải bài 3.4 trang 107 SBT đại số và giải tích 11

151 lượt xem

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Chứng minh các bất đẳng thức sau ( $n \in N*$ )

LG a

${2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }};$

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$ , ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi $n = 1$ .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với $n = k + 1$ .

Lời giải chi tiết:

Với $n = 1$ thì ${2^{1 + 2}} = 8 > 7 = 2.1 + 5.$

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k \ge 1,$ tức là ${2^{k + 2}} > 2k + 5{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với $n = k + 1,$ tức là ${2^{k + 3}} > 2\left( {k + 1} \right) + 5$ hay

${2^{k + 3}} > 2k + 7{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

${2^{k + 3}} > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3.$

Vì $2k + 3 > 0$ nên ${2^{k + 3}} > 2k + 7\left( {dpcm} \right).$

LG b

${\sin ^{2n}}\alpha + {\cos ^{2n}}\alpha \le 1.$

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$ , ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi $n = 1$ .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với $n = k + 1$ .

Lời giải chi tiết:

Với $n = 1$ thì ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1,$ bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có ${\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1$ với $k \ge 1,$ ta phải chứng minh ${\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \le 1.$

Thật vậy, ta có

${\sin ^{2k + 2}}\alpha + {\cos ^{2k + 2}}\alpha$ $= {\sin ^{2k}}\alpha .{\sin ^2}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha .{\cos ^2}\alpha$ $\le {\sin ^{2k}}\alpha + {\cos ^{2k}}\alpha \le 1.$

SBT Toán lớp 11