Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\). \(M\) là một điểm di động trên đoạn \(AB\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và song song với \(SA\) và \(BC\); \(\left( \alpha \right)\) cắt \(SB, SC\) và \(CD\) lần lượt tại \(N, P\) và \(Q\)
LG a
Tứ giác \(MNPQ\) là hình gì?
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất: Cho đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\). Nếu mặt phẳng \((\beta)\) chứa \(d\) và cắt \((\alpha)\) theo giao tuyến \(d’\) thì \(d’\parallel d\).
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}d\parallel (\alpha )\\d \subset (\beta )\\(\alpha ) \cap (\beta ) = d'\end{array} \right.\\ \Rightarrow d\parallel d'\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}(\alpha )\parallel SA\\SA \subset (SAB)\\(\alpha ) \cap (SAB) = MN\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow MN\parallel SA\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}(\alpha )\parallel BC\\BC \subset (SBC)\\(\alpha ) \cap (SBC) = NP\end{array} \right. \Rightarrow NP\parallel BC\) \(\text{(1)}\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}(\alpha )\parallel BC\\BC \subset (ABCD)\\(\alpha ) \cap (ABCD) = MQ\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow BC\parallel MQ\)
\(\text{(2)}\)
Từ \(\text{(1)}\) và \(\text{(2)}\) \(NP\parallel QM\parallel BC\)
\(\Rightarrow MNPQ\) là hình thang có hai đáy là \(NP, QM\).
LG b
Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(PQ\). Chứng minh rằng \(I\) nằm trên một đường thẳng cố định
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) có điểm chung \(S\) và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(d\) và \(d’\) thì giao tuyến của \((\alpha)\) và \((\beta)\) là đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(S\) và song song với \(d\) và \(d’\).
Sử dụng tính chất nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng chung đó ấy hay còn gọi là giao tuyến.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}S \in (SAB) \cap (SCD)\\AB \subset (SAB),CD \subset (SCD)\\AB\parallel CD\end{array} \right. \)
\(\Rightarrow (SAB) \cap (SCD) = Sx\);
\(Sx\parallel AB\parallel CD\)
Ta có: \(I=MN\cap PQ\)
\(\Rightarrow I\in MN, MN\subset (SAB)\)
\(\Rightarrow I\in (SAB)\).
Và \(PQ\subset (SCD)\Rightarrow I\in (SCD)\).
\(\Rightarrow I\in (SAB)\cap (SCD)\)
\(\Rightarrow I\in Sx\).
Do \((SAB)\) và \((SCD)\) cố định \(\Rightarrow AB, CD\) cố định
\(Sx\parallel AB\parallel CD\Rightarrow Sx\) cố định
\(I\in Sx\Rightarrow I\) cố định.
