Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. M là một điểm di động trên đoạn AB. Một mặt phẳng (α) đi qua M và song song với SA và BC; (α) cắt SB,SC và CD lần lượt tại N,P và Q
LG a
Tứ giác MNPQ là hình gì?
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất: Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa d và cắt (α) theo giao tuyến d′ thì d′∥d.
{d∥(α)d⊂(β)(α)∩(β)=d′⇒d∥d′
Lời giải chi tiết:
Ta có:
{(α)∥SASA⊂(SAB)(α)∩(SAB)=MN
⇒MN∥SA
Ta có:
{(α)∥BCBC⊂(SBC)(α)∩(SBC)=NP⇒NP∥BC (1)
Ta có:
{(α)∥BCBC⊂(ABCD)(α)∩(ABCD)=MQ
⇒BC∥MQ
(2)
Từ (1) và (2) NP∥QM∥BC
⇒MNPQ là hình thang có hai đáy là NP,QM.
LG b
Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d′ thì giao tuyến của (α) và (β) là đường thẳng Δ đi qua S và song song với d và d′.
Sử dụng tính chất nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng chung đó ấy hay còn gọi là giao tuyến.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
{S∈(SAB)∩(SCD)AB⊂(SAB),CD⊂(SCD)AB∥CD
⇒(SAB)∩(SCD)=Sx;
Sx∥AB∥CD
Ta có: I=MN∩PQ
⇒I∈MN,MN⊂(SAB)
⇒I∈(SAB).
Và PQ⊂(SCD)⇒I∈(SCD).
⇒I∈(SAB)∩(SCD)
⇒I∈Sx.
Do (SAB) và (SCD) cố định ⇒AB,CD cố định
Sx∥AB∥CD⇒Sx cố định
I∈Sx⇒I cố định.
