Đề bài
Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820 ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức của CSC: \({u_n} = {u_k} + \left( {n - k} \right)d\)
Tính chất CSN: \({u_{k + 1}}.{u_{k - 1}} = u_k^2\)
Tổng CSC: \({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\)
Lời giải chi tiết
Gọi số hạng thứ hai của cấp số cộng là \({u_2},\)ta có
\({u_9} = {u_2} + 7d,{u_{44}} = {u_2} + 42d.\)
Tổng ba số là \(217\) nên \(\left( {{u_2} + 7d} \right) + {u_2} + \left( {{u_2} + 42d} \right) = 217\) \( \Leftrightarrow 3{u_2} + 49d = 217\)
Lại có: \({u_2}.{u_{44}} = u_9^2\)\( \Leftrightarrow {u_2}\left( {{u_2} + 42d} \right) = {\left( {{u_2} + 7d} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow 42{u_2}d = 14{u_2}d + 49{d^2}\) \( \Leftrightarrow 4{u_2}d = 7{d^2} \Leftrightarrow 4{u_2} = 7d\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}4{u_2} = 7d\\3{u_2} + 49d = 217\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 7\\d = 4\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} = 7 - 4 = 3\)
Tổng của CSC: \(820 = \dfrac{{n\left[ {2.3 + \left( {n - 1} \right).4} \right]}}{2}\) \( \Leftrightarrow 4{n^2} + 2n - 1640 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 20\left( {TM} \right)\\n = - \dfrac{{41}}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(n = 20.\)
