Đề bài
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G_1\) và \(G_2\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ACD\) và \(BCD\). Chứng minh rằng \(G_1G_2\) song song với các mặt phẳng \((ABC)\) và \((ABD)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lý Talet.
Chứng minh đường thẳng \(d\parallel (P)\) ta chứng minh đường thẳng \(d\parallel d’\), trong đó \(d’\in (P)\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(I\) là trung điểm \(CD\)
Ta có \(G_1\) là trọng tâm tam giác \(ACD\) nên ta có \(\dfrac{IG_1}{IA}=\dfrac{1}{3}\)
Và \(G_2\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên ta có \(\dfrac{IG_2}{IB}=\dfrac{1}{3}\).
Khi đó \(\dfrac{IG_1}{IA}=\dfrac{IG_2}{IB}=\dfrac{1}{3}\)
Theo Talet ta được \(G_1G_2\parallel AB\).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}{G_1}{G_2}\parallel AB\\AB \subset (ABC)\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow G_1G_2\parallel (ABC)\).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}{G_1}{G_2}\parallel AB\\AB \subset (ABD)\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow G_1G_2\parallel (ABD)\).
