Đề bài
Trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho hình vuông ABCD. Các tia \(Ax,By,Cz,Dt\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và nằm về một phía đối với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Một mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) lần lượt cắt \(Ax,By,Cz,Dt\) tại A’,B’,C’,D’.
a) Tứ giác A’,B’,C’,D’ là hình gì? Chứng minh rằng .
b) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A’,B’,C’,D’ là hình thoi là nó có hai đỉnh đối diện cách đều mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
c) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A’,B’,C’,D’ là hình chữ nhật là nó có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có hai mặt phẳng song song là:
\(\left( {Ax,AD} \right)\parallel \left( {By,BC} \right)\)
Hai mặt phẳng này bị cắt bởi mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) nên ta suy ra các giao tuyến của chúng phải song song nghĩa là \(A'D'\parallel B'C'\).
Tương tự ta chứng minh được \(A'B'\parallel D'C'\). Vậy A’,B’,C’,D’ là hình bình hành. Các hình thang AA’C’C và BB’D’D đều có OO’ là đường trung bình trong đó O là tâm của hình vuông ABCD và O’ là tâm của hình bình hành A’,B’,C’,D’. Do đó: \(AA' + CC' = BB' + DD' = 2OO'\)
b) Muốn hình bình hành A’,B’,C’,D’ là hình thoi ta cần phải có A’C’⊥B’D’. Ta đã có AC⊥BD. Người ta chứng minh được rằng hình chiếu vuông góc của một góc vuông là một góc vuông khi và chỉ khi góc vuông đem chiếu có ít nhất một cạnh song song với mặt phẳng chiếu hay nằm trong mặt chiếu. Vậy A’,B’,C’,D’ là hình thoi khi và chỉ khi A’C’ hoặc B’D’ song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho trước. Khi đó ta có AA’ = CC’ hoặc BB’ = DD’.
c) Muốn hình bình hành A’,B’,C’,D’ là hình chữ nhật ta cần có A’B’⊥B’C’, nghĩa là A’B’ hoặc B’C’ phải song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Khi đó ta có AA’ = BB’ hoặc BB’ = CC’, nghĩa là hình bình hành A’,B’,C’,D’ có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cho trước.
