Đề bài
Cho phương trình 4cos22x+16sinxcosx−7=0(1)
Xét các giá trị (I)π6+kπ
(II)5π12+kπ(k∈Z).
(III)π12+kπ
Trong các giá trị trên giá trị nào là nghiệm của phương trình (1) ?
A. Chỉ (I)
B. Chỉ (II)
C. Chỉ (III)
D. (II) và (III)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức nhân đôi sin2x=2sinxcosx.
Sử dụng công thức sin2x+cos2x=1 để đưa phương trình dạng phương trình bậc hai đối với hàm số sin2x.
Phương trình sinx=a
Nếu |a|>1 phương trình vô nghiệm
Nếu |a|≤1 khi đó phương trình có nghiệm là
x=arcsina+k2π,k∈Z
và x=π−arcsina+k2π,k∈Z.
Lời giải chi tiết
Ta có: (1)⇔4(1−sin22x)+8sin2x−7=0
⇔4sin22x−8sin2x+3=0
⇔[sin2x=32>1(loại)sin2x=12
⇔[2x=π6+k2π,k∈Z2x=π−(π6)+k2π,k∈Z
⇔[x=π12+kπ,k∈Zx=5π12+kπ,k∈Z
Vậy phương trình có nghiệm là x=π12+kπ,k∈Z và x=5π12+kπ,k∈Z.
Đáp án: D.