Giải bài 1.34 trang 38 SBT đại số và giải tích 11

152 lượt xem

Đề bài

Cho phương trình $4{\cos}^2 2x+16\sin x\cos x-7=0$ $\text{(1)}$

Xét các giá trị $(I) \dfrac{\pi}{6}+k\pi$

$(II) \dfrac{5\pi}{12}+k\pi (k\in\mathbb{Z}).$

$(III) \dfrac{\pi}{12}+k\pi$

Trong các giá trị trên giá trị nào là nghiệm của phương trình $\text{(1)}$ ?

A. Chỉ $\text{(I)}$

B. Chỉ $\text{(II)}$

C. Chỉ $\text{(III)}$

D. $\text{(II)}$ và $\text{(III)}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức nhân đôi $\sin 2x=2\sin x\cos x$ .

Sử dụng công thức ${\sin}^2 x+{\cos}^2 x=1$ để đưa phương trình dạng phương trình bậc hai đối với hàm số $\sin 2x$ .

Phương trình $\sin x=a$

Nếu $|a|>1$ phương trình vô nghiệm

Nếu $|a|\le 1$ khi đó phương trình có nghiệm là

$x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

và $x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $\text{(1)}\Leftrightarrow 4(1-{\sin}^2 2x)+8\sin 2x-7=0$

$\Leftrightarrow 4{\sin}^2 2x-8\sin 2x+3=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = \dfrac{3}{2}>1\text{(loại)}\\\sin 2x=\dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi}{6}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\2x= \pi-({\dfrac{\pi}{6}})+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{12}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x= \dfrac{5\pi}{12}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \dfrac{\pi}{12}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $x= \dfrac{5\pi}{12}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ .

Đáp án: D.

SBT Toán lớp 11