Đề bài
Cho phương trình \(4{\cos}^2 2x+16\sin x\cos x-7=0\)\(\text{(1)}\)
Xét các giá trị \( (I) \dfrac{\pi}{6}+k\pi\)
\((II) \dfrac{5\pi}{12}+k\pi (k\in\mathbb{Z}).\)
\((III) \dfrac{\pi}{12}+k\pi\)
Trong các giá trị trên giá trị nào là nghiệm của phương trình \(\text{(1)}\) ?
A. Chỉ \(\text{(I)}\)
B. Chỉ \(\text{(II)}\)
C. Chỉ \(\text{(III)}\)
D. \(\text{(II)}\) và \(\text{(III)}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x=2\sin x\cos x\).
Sử dụng công thức \({\sin}^2 x+{\cos}^2 x=1\) để đưa phương trình dạng phương trình bậc hai đối với hàm số \(\sin 2x\).
Phương trình \(\sin x=a\)
Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm
Nếu \(|a|\le 1\) khi đó phương trình có nghiệm là
\(x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
và \(x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\text{(1)}\Leftrightarrow 4(1-{\sin}^2 2x)+8\sin 2x-7=0\)
\(\Leftrightarrow 4{\sin}^2 2x-8\sin 2x+3=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = \dfrac{3}{2}>1\text{(loại)}\\\sin 2x=\dfrac{1}{2}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi}{6}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\2x= \pi-({\dfrac{\pi}{6}})+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{12}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x= \dfrac{5\pi}{12}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \dfrac{\pi}{12}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x= \dfrac{5\pi}{12}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án: D.
