Chứng minh các đẳng thức sau (với n∈N∗ )
LG a
2+5+8+...+(3n−1)=n(3n+1)2;
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n∈N∗, ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n=1.
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n=k(k≥1) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n=k+1.
Lời giải chi tiết:
Đặt vế trái bằng Sn.
Với n=1, ta có:
VT=S1=2VP=1.(3.1+1)2=2⇒VT=VP
Hệ thức đúng.
Giả sử đã có Sk=k(3k+1)2 với k≥1.
Ta phải chứng minh Sk+1=(k+1)[3(k+1)+1]2=(k+1)(3k+4)2.
Thật vậy
Sk+1=Sk+3(k+1)−1 =k(3k+1)2+3k+2 =3k2+k+6k+42 =3k2+7k+42 =(k+1)(3k+4)2(dpcm)
LG b
3+9+27+...+3n=12(3n+1−3).
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n∈N∗, ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n=1.
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n=k(k≥1) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n=k+1.
Lời giải chi tiết:
Đặt Sn=3+9+27+...+3n.
Với n=1 thì S1=3=12(32−3) nên đúng.
Giả sử có Sk=12(3k+1−3), k≥1.
Ta chứng minh Sk+1=12(3k+1+1−3)=12(3k+2−3).
Thật vậy:
Sk+1=Sk+3k+1=12(3k+1−3)+3k+1 =32.3k+1−32=12(3k+2−3).
Vậy ta có đpcm.
