Chứng minh các đẳng thức sau (với \(n \in N*\) )
LG a
\(2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2};\)
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).
Lời giải chi tiết:
Đặt vế trái bằng \({S_n}.\)
Với \(n = 1,\) ta có:
\(\begin{array}{l}
VT = {S_1} = 2\\
VP = \frac{{1.\left( {3.1 + 1} \right)}}{2} = 2\\
\Rightarrow VT = VP
\end{array}\)
Hệ thức đúng.
Giả sử đã có \({S_k} = \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2}\) với \(k \ge 1.\)
Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{2}= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}.\)
Thật vậy
\({S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 1\) \( = \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2} + 3k + 2\) \( = \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}\) \( = \dfrac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2}\) \({\rm{ = }}\dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}\left( {dpcm} \right)\)
LG b
\(3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right).\)
Phương pháp giải:
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:
- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).
- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \({S_n} = 3 + 9 + 27 + ... + {3^n}\).
Với \(n = 1\) thì \({S_1} = 3 = \dfrac{1}{2}\left( {{3^2} - 3} \right)\) nên đúng.
Giả sử có \({S_k} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right)\), \(k \ge 1\).
Ta chứng minh \({S_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{3^{k + 1 + 1}} - 3} \right)= \frac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right)\).
Thật vậy:
\({S_{k + 1}} =S_k+3^{k+1}= \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right) + {3^{k + 1}}\) \( = \dfrac{3}{2}{.3^{k + 1}} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right)\).
Vậy ta có đpcm.
