Tổng hợp câu hay và khó chương 2 - Phần 1

Số nghiệm của phương trình $2{x^2} - 4x = 3m$ là số giao điểm của đò thị hàm số $\left( P \right):\,\,y = 2{x^2} - 4x$ và đường thẳng $d:\,\,y = 3m.$

Ta có đồ thị hàm số:

Đường thẳng $y = 3m$ cắt đồ thị hàm số $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow 3m >  - 2 \Leftrightarrow m >  - \dfrac{2}{3}$

Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ {0;\,\,5} \right]\end{array} \right.$ $\Rightarrow m \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}$

$\Rightarrow$ Có $6$ giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.

Dựa vào hình vẽ xác định đây là đồ thị hàm số$y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Ta thấy đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới $\Rightarrow a < 0.$

Đồ thị có đỉnh $I\left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - b}}{{2a}} =  - 1\\f\left( { - 1} \right) = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\a - b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b = 0\\a - b + c = 1\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)$

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm $O\left( {0;0} \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow c = 0$

Thay vào $\left( 1 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b = 0\\a - b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\,\,\left( {tm} \right)\\b =  - 2\end{array} \right.$

Vậy hàm số cần tìm là: $y =  - {x^2} - 2x.$

Ta có hàm số (P): $y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 1{\rm{  khi }}x \ge 0\\{x^2} + 3x + 1{\rm{  khi }}x < 0\end{array} \right.$

Vẽ đồ thị của hàm số $\left( P \right):y = {x^2} - 3\left| x \right| + 1$.

• Vẽ Parabol $({P_1}):y = {x^2} - 3x + 1$. Bỏ đi phần đồ thị bên trái trục tung.
• Vẽ Parabol $({P_2}):y = {x^2} + 3x + 1$ bằng cách lấy đối xứng $\left( {{P_1}} \right)$ qua trục $Oy$.

Ta được đồ thị của $\left( P \right):y = {x^2} - 3\left| x \right| + 1$ như sau:

Từ đồ thị ta thấy $\left( d \right):y = \dfrac{{ - 2m - 1}}{3}$ cắt $\left( P \right)$ tại đúng 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi $\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 2m - 1}}{3} = -\dfrac{5}{4}\\\dfrac{{ - 2m - 1}}{3} > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{11}{8}\\m <  - 2\end{array} \right.$

Hoành độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình

$\left| {{x^2} - 3x - 1} \right| + 2 =  - m + 1$$\Leftrightarrow \left| {{x^2} - 3x - 1} \right| =  - m - 1$

Vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {{x^2} - 3x - 1} \right|$ trên cùng một hệ trục tọa độ:

+) Vẽ parabol $\left( {{P_1}} \right):{x^2} - 3x - 1$

+) Vẽ parabol $\left( {{P_2}} \right): - \left( {{x^2} - 3x - 1} \right)$ bằng cách lấy đối xứng $\left( {{P_1}} \right)$ qua $Ox$.

+) Xóa đi phần đồ thị của $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right)$ dưới trục hoành.

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $y =  - m - 1$ đi qua đỉnh của $\left( {{P_2}} \right)$ $\Leftrightarrow  - m - 1 =  - \dfrac{{{3^2} - 4.\left( { - 1} \right).1}}{{4.\left( { - 1} \right)}} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{{17}}{4}$

Ta có $x =  - \dfrac{b}{{2a}} =  \dfrac{{m + 2}}{{m + 1}}$. Suy ra $y = \dfrac{{-{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{m + 1}} + 3$

Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{7}{2}$ trên $\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\\dfrac{{-{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{m + 1}} + 3 = \dfrac{7}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\2{m^2} + 9m + 9 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\\left[ \begin{array}{l}m =  - 3\\m =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 3\\m =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$

Từ đồ thị hàm số $y = {x^2} - 2x - 3,$ giữ lại phần đồ thị phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành lên phía trên trục hoành ta được đồ thị hàm số $y = \left| {{x^2} - 2x - 3} \right|.$

Dựa vào đồ thị ta thấy, $\left| {{x^2} - 2x - 3} \right| = m$ có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m = 0\end{array} \right.$

Khối lượng cá sau một vụ là:

$T = \left( {360 - 10n} \right)n = 360n - 10{n^2}$$\,\,\,\,\, =  - 10\left( {{n^2} - 36n + 324 - 324} \right)$$\,\,\,\,\, =  - 10{\left( {n - 18} \right)^2} + 3240$

$\Rightarrow {T_{\max }} = 3240$ khi $n = 18$.

Giả sử Parabol có dạng: $y = a{x^2} + bx + c$, $a \ne 0$.

Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ, khi đó parabol đi qua điểm $A\left( {100;\;30} \right)$, và có đỉnh $C\left( {0;\,5} \right)$. Đoạn $A'B'$ chia làm $8$ phần, mỗi phần $25\,{\rm{m}}$.

Suy ra:$\left\{ \begin{array}{l}30 = 10000a + 100b + c\\\dfrac{{ - b}}{{2a}} = 0\\5 = c\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{{400}}\\b = 0\\c = 5\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left( P \right):y = \dfrac{1}{{400}}{x^2} + 5$.

Khi đó, tổng độ dài của các dây cáp treo bằng $OC + 2{y_1} + 2{y_2} + 2{y_3}$

$= 5 + 2\left( {\dfrac{1}{{400}}{{.25}^2} + 5} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{{400}}{{.50}^2} + 5} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{{400}}{{.75}^2} + 5} \right)$

$= 78,75\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Quan sát đồ thị ta loại A. và D.

Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị $\left( P \right)$ của hàm số bậc hai, tọa độ đỉnh của $\left( P \right)$ là $\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{{13}}{4}} \right)$, trục đối xứng là $x = \dfrac{5}{2}$, đi qua điểm $\left( {0; - 3} \right)$

Ta có: $\left( {0;3} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow c =  - 3$

Trục đối xứng $x = \dfrac{5}{2}$  $\Rightarrow  - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow b =  - 5a$

Do đó ta có phương trình $y = a{x^2} - 5ax - 3$

Đỉnh $\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{{13}}{4}} \right)$ nên $\dfrac{{13}}{4} = a.\dfrac{{25}}{4} - a.\dfrac{{25}}{2} - 3 \Leftrightarrow a =  - 1$

Vậy phần đồ thị bên phải là một phần của parabol $\left( P \right):y =  - {x^2} + 5x - 3$

Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của $\left( P \right)$qua trục tung $Oy$. Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số $y =  - {x^2} + 5\left| x \right| - 3$.

Đồ thị hàm số $y = m{x^2} - 2mx - {m^2} - 1$$\left( {m \ne 0} \right)$ có đỉnh là $I\left( {1;\; - {m^2} - m - 1} \right)$.

Để $I\left( {1;\; - {m^2} - m - 1} \right)$ nằm trên đường thẳng $y = x - 2$ thì $- {m^2} - m - 1 =  - 1$ $\Leftrightarrow {m^2} + m = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0{\rm{ }}\left( l \right)\\m =  - 1{\rm{ }}\left( n \right)\end{array} \right.$. Vậy $m =  - 1$$\in \left( { - 2;\;2} \right)$.

Ta có: $y = {x^2} - 6\left| x \right| + 5 = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 6x + 5\,\,\,khi\,x \ge 0\,\,\left( {{C_1}} \right)\\ {x^2} + 6x + 5\,\,\,khi\,x < 0\,\,\left( {{C_2}} \right)\end{array} \right.$

Đồ thị $\,\left( C \right)$của hàm số $y = {x^2} - 6\left| x \right| + 5$ gồm hai phần

Phần đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$: là phần đồ thị của hàm số ${y_1} = {x^2} - 6x + 5\,$nằm bên phải trục tung

Phần đồ thị $\,\left( {{C_2}} \right)$: là phần đồ thị của hàm số ${y_2} = {x^2} + 6x + 5$ có được bằng cách lấy đối xứng phần đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$ qua trục tung

Ta có đồ thị $\,\left( C \right)$ như hình vẽ

Vậy: đồ thị $\,\left( C \right)$ có trục đối xứng có phương trình $x = 0$ và nó không có tâm đối xứng.

$M \in \Delta  \Rightarrow M(t;1 - t) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 1 - t;t + 2} \right)$.

Ta có: $MN = 5 \Rightarrow M{N^2} = {\left( { - 1 - t} \right)^2} + {(2 + t)^2} = 25$

$\Leftrightarrow 2{t^2} + 6t - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2 \Rightarrow M\left( {2; - 1} \right)\\t =  - 5 \Rightarrow M\left( { - 5;6} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 5;6} \right) \Rightarrow a - b =  - 11$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$, ta có bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right) - 1$ là:

Suy ra bảng biến thiên của hàm số $y = \left| {f\left( x \right) - 1} \right|$

Từ BBT suy ra phương trình $\left| {f\left( x \right) - 1} \right| = m$ có bốn nghiệm phân biệt khi $1 < m < 3$.

Vậy $1 < m < 3$.

+ Phương trình $\Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = m + 1$.

+ Đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ có dạng:

+ Dựa vào đồ thị, để phương trình $\left| {f\left( x \right)} \right| = m + 1$ có hai nghiệm phân biệt thì:

$\left[ \begin{array}{l}m + 1 > 1\\m + 1 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 0\\m =  - 1\end{array} \right.$.

Gọi $y$ là số tiền lãi của cửa hàng bán giày.

Ta có: $x-40$ USD là số tiền lãi của một đôi giày nếu bán với giá $x$ USD. Trong một tháng có $(120-x)$ đôi giày được mua. Như thế số tiền lãi của cửa hàng trong một tháng là:

$y = \left( {120 - x} \right)\left( {x - 40} \right)$

Để tiền lãi của cửa hàng nhiều nhất thì ta cần tính giá trị lớn nhất của $y$.

$y =  - {x^2} + 160x - 4800$$=  - {\left( {x - 80} \right)^2} + 1600 \le 1600$.

Dấu  xảy ra $\Leftrightarrow x = 80$.

Vậy cửa hàng lãi nhiều nhất khi bán đôi giày với giá $80$ USD.

Ta có $9 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow \left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right) \ge 0 \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 3$.

Hàm số xác định khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}9 - {x^2} \ge 0\\{x^2} - 6x + 8 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x \le 3\\x \ne 4\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x \le 3\\x \ne 2\end{array} \right.$

Vậy $x \in \left[ { - 3;3} \right]\backslash \left\{ 2 \right\}$

Xét các hàm số :

+) $y = f\left( x \right) = {x^2} + 1$ xác định trên $\mathbb{R}$ có:

$f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} + 1 = {x^2} + 1 = f\left( x \right)$ nên $y = f\left( x \right)$ chẵn.

+) $y = g\left( x \right) = {x^5} + {x^3}$ xác định trên $\mathbb{R}$ có:

$g\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^5} + {\left( { - x} \right)^3} =  - {x^5} - {x^3} =  - \left( {{x^5} + {x^3}} \right) =  - g\left( x \right)$ nên $y = g\left( x \right)$ lẻ.

Tương tự với các hàm số khác ta được kết quả:

Hàm số $y = \left| x \right|$ là hàm số chẵn.

Hàm số $y = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$ là hàm số lẻ.

Hàm số $y = {x^3} + {x^2}$ không chẵn không lẻ.

Hàm số $y = {x^2} - 2\left| x \right| + 3$ là hàm số chẵn.

Hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {3 - x}  + \sqrt {x + 3} }}{{{x^2}}}$ là hàm số chẵn.

Các hàm số lẻ ở trên là: $y = {x^5} + {x^3}$; $y = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$.

Vậy chỉ có $2$ hàm số này có đồ thị nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Do bề lõm của $\left( P \right)$ quay xuống và $M$ có tung độ lớn nhất nên $M$ là đỉnh của $\left( P \right)$.

Ta có $M\left( {1;3} \right)$ là đỉnh của parabol nên $\dfrac{a}{{ - 4}} = 1 \Leftrightarrow a =  - 4$.

Suy ra $y =  - 2{x^2} + 4x + b$ qua $M\left( {1;3} \right)$ nên $3 = - {2.1^2} + 4.1 + b \Leftrightarrow$ $b = 1$

Quan sát đồ thị ta có:

Đồ thị quay bề lõm xuống dưới nên $a < 0$; có hoành độ đỉnh ${x_I} =  - \dfrac{b}{{2a}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{b}{a} < 0 \Rightarrow b > 0$.

Lại có: đồ thị cắt $Oy$ tại điểm có tung độ âm nên $c < 0$.

Vậy $a < 0$, $b > 0$, $c < 0$.