Tổng hợp câu hay và khó chương 2 - Phần 1

Số nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 4x = 3m\) là số giao điểm của đò thị hàm số \(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2} - 4x\) và đường thẳng \(d:\,\,y = 3m.\)

Ta có đồ thị hàm số:

Đường thẳng \(y = 3m\) cắt đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow 3m >  - 2 \Leftrightarrow m >  - \dfrac{2}{3}\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ {0;\,\,5} \right]\end{array} \right.\) \( \Rightarrow m \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\)

\( \Rightarrow \) Có \(6\) giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Dựa vào hình vẽ xác định đây là đồ thị hàm số\(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Ta thấy đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới \( \Rightarrow a < 0.\)

Đồ thị có đỉnh \(I\left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - b}}{{2a}} =  - 1\\f\left( { - 1} \right) = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\a - b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b = 0\\a - b + c = 1\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)\)

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(O\left( {0;0} \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow c = 0\)

Thay vào \(\left( 1 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b = 0\\a - b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\,\,\left( {tm} \right)\\b =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là: \(y =  - {x^2} - 2x.\)

Ta có hàm số (P): \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 1{\rm{  khi }}x \ge 0\\{x^2} + 3x + 1{\rm{  khi }}x < 0\end{array} \right.\)

Vẽ đồ thị của hàm số \(\left( P \right):y = {x^2} - 3\left| x \right| + 1\).

• Vẽ Parabol \(({P_1}):y = {x^2} - 3x + 1\). Bỏ đi phần đồ thị bên trái trục tung.
• Vẽ Parabol \(({P_2}):y = {x^2} + 3x + 1\) bằng cách lấy đối xứng \(\left( {{P_1}} \right)\) qua trục \(Oy\).

Ta được đồ thị của \(\left( P \right):y = {x^2} - 3\left| x \right| + 1\) như sau:

Từ đồ thị ta thấy \(\left( d \right):y = \dfrac{{ - 2m - 1}}{3}\) cắt \(\left( P \right)\) tại đúng 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 2m - 1}}{3} = -\dfrac{5}{4}\\\dfrac{{ - 2m - 1}}{3} > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{11}{8}\\m <  - 2\end{array} \right.\)

Hoành độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình

\(\left| {{x^2} - 3x - 1} \right| + 2 =  - m + 1\)\( \Leftrightarrow \left| {{x^2} - 3x - 1} \right| =  - m - 1\)

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^2} - 3x - 1} \right|\) trên cùng một hệ trục tọa độ:

+) Vẽ parabol \(\left( {{P_1}} \right):{x^2} - 3x - 1\)

+) Vẽ parabol \(\left( {{P_2}} \right): - \left( {{x^2} - 3x - 1} \right)\) bằng cách lấy đối xứng \(\left( {{P_1}} \right)\) qua \(Ox\).

+) Xóa đi phần đồ thị của \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) dưới trục hoành.

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(y =  - m - 1\) đi qua đỉnh của \(\left( {{P_2}} \right)\) \( \Leftrightarrow  - m - 1 =  - \dfrac{{{3^2} - 4.\left( { - 1} \right).1}}{{4.\left( { - 1} \right)}} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{{17}}{4}\)

Ta có \(x =  - \dfrac{b}{{2a}} =  \dfrac{{m + 2}}{{m + 1}}\). Suy ra \(y = \dfrac{{-{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{m + 1}} + 3\)

Hàm số có giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{7}{2}\) trên \(\mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\\dfrac{{-{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{m + 1}} + 3 = \dfrac{7}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\2{m^2} + 9m + 9 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\\left[ \begin{array}{l}m =  - 3\\m =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 3\\m =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)

Từ đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2x - 3,\) giữ lại phần đồ thị phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành lên phía trên trục hoành ta được đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^2} - 2x - 3} \right|.\)

Dựa vào đồ thị ta thấy, \(\left| {{x^2} - 2x - 3} \right| = m\) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m = 0\end{array} \right.\)

Khối lượng cá sau một vụ là:

$T = \left( {360 - 10n} \right)n = 360n - 10{n^2}$$\,\,\,\,\, =  - 10\left( {{n^2} - 36n + 324 - 324} \right)$$\,\,\,\,\, =  - 10{\left( {n - 18} \right)^2} + 3240$

$ \Rightarrow {T_{\max }} = 3240$ khi $n = 18$.

Giả sử Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\).

Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ, khi đó parabol đi qua điểm \(A\left( {100;\;30} \right)\), và có đỉnh \(C\left( {0;\,5} \right)\). Đoạn \(A'B'\) chia làm \(8\) phần, mỗi phần \(25\,{\rm{m}}\).

Suy ra:\(\left\{ \begin{array}{l}30 = 10000a + 100b + c\\\dfrac{{ - b}}{{2a}} = 0\\5 = c\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{{400}}\\b = 0\\c = 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( P \right):y = \dfrac{1}{{400}}{x^2} + 5\).

Khi đó, tổng độ dài của các dây cáp treo bằng \(OC + 2{y_1} + 2{y_2} + 2{y_3}\)

\( = 5 + 2\left( {\dfrac{1}{{400}}{{.25}^2} + 5} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{{400}}{{.50}^2} + 5} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{{400}}{{.75}^2} + 5} \right)\)

\( = 78,75\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Quan sát đồ thị ta loại A. và D.

Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số bậc hai, tọa độ đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{{13}}{4}} \right)\), trục đối xứng là \(x = \dfrac{5}{2}\), đi qua điểm \(\left( {0; - 3} \right)\)

Ta có: \(\left( {0;3} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow c =  - 3\)

Trục đối xứng \(x = \dfrac{5}{2}\)  \( \Rightarrow  - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow b =  - 5a \)

Do đó ta có phương trình \(y = a{x^2} - 5ax - 3\)

Đỉnh \(\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{{13}}{4}} \right)\) nên \(\dfrac{{13}}{4} = a.\dfrac{{25}}{4} - a.\dfrac{{25}}{2} - 3 \Leftrightarrow a =  - 1\)

Vậy phần đồ thị bên phải là một phần của parabol \(\left( P \right):y =  - {x^2} + 5x - 3\)

Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của $\left( P \right)$qua trục tung $Oy$. Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số $y =  - {x^2} + 5\left| x \right| - 3$.

Đồ thị hàm số \(y = m{x^2} - 2mx - {m^2} - 1\)\(\left( {m \ne 0} \right)\) có đỉnh là \(I\left( {1;\; - {m^2} - m - 1} \right)\).

Để \(I\left( {1;\; - {m^2} - m - 1} \right)\) nằm trên đường thẳng \(y = x - 2\) thì \( - {m^2} - m - 1 =  - 1\) \( \Leftrightarrow {m^2} + m = 0\)$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0{\rm{ }}\left( l \right)\\m =  - 1{\rm{ }}\left( n \right)\end{array} \right.$. Vậy $m =  - 1$$ \in \left( { - 2;\;2} \right)$.

Ta có: $y = {x^2} - 6\left| x \right| + 5 = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 6x + 5\,\,\,khi\,x \ge 0\,\,\left( {{C_1}} \right)\\ {x^2} + 6x + 5\,\,\,khi\,x < 0\,\,\left( {{C_2}} \right)\end{array} \right.$

Đồ thị $\,\left( C \right)$của hàm số \(y = {x^2} - 6\left| x \right| + 5\) gồm hai phần

Phần đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$: là phần đồ thị của hàm số \({y_1} = {x^2} - 6x + 5\,\)nằm bên phải trục tung

Phần đồ thị $\,\left( {{C_2}} \right)$: là phần đồ thị của hàm số \({y_2} = {x^2} + 6x + 5\) có được bằng cách lấy đối xứng phần đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$ qua trục tung

Ta có đồ thị $\,\left( C \right)$ như hình vẽ

Vậy: đồ thị $\,\left( C \right)$ có trục đối xứng có phương trình \(x = 0\) và nó không có tâm đối xứng.

\(M \in \Delta  \Rightarrow M(t;1 - t) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 1 - t;t + 2} \right)\).

Ta có: \(MN = 5 \Rightarrow M{N^2} = {\left( { - 1 - t} \right)^2} + {(2 + t)^2} = 25\)

\( \Leftrightarrow 2{t^2} + 6t - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2 \Rightarrow M\left( {2; - 1} \right)\\t =  - 5 \Rightarrow M\left( { - 5;6} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 5;6} \right) \Rightarrow a - b =  - 11\)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\), ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right) - 1\) là:

Suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) - 1} \right|\)

Từ BBT suy ra phương trình \(\left| {f\left( x \right) - 1} \right| = m\) có bốn nghiệm phân biệt khi \(1 < m < 3\).

Vậy \(1 < m < 3\).

+ Phương trình $ \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = m + 1$.

+ Đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có dạng:

+ Dựa vào đồ thị, để phương trình $\left| {f\left( x \right)} \right| = m + 1$ có hai nghiệm phân biệt thì:

\(\left[ \begin{array}{l}m + 1 > 1\\m + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 0\\m =  - 1\end{array} \right.\).

Gọi \(y\) là số tiền lãi của cửa hàng bán giày.

Ta có: $x-40$ USD là số tiền lãi của một đôi giày nếu bán với giá $x$ USD. Trong một tháng có $(120-x)$ đôi giày được mua. Như thế số tiền lãi của cửa hàng trong một tháng là:

\(y = \left( {120 - x} \right)\left( {x - 40} \right)\)

Để tiền lãi của cửa hàng nhiều nhất thì ta cần tính giá trị lớn nhất của $y$.

\(y =  - {x^2} + 160x - 4800\)\( =  - {\left( {x - 80} \right)^2} + 1600 \le 1600\).

Dấu  xảy ra \( \Leftrightarrow x = 80\).

Vậy cửa hàng lãi nhiều nhất khi bán đôi giày với giá \(80\) USD.

Ta có $9 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow \left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right) \ge 0 \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 3$.

Hàm số xác định khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}9 - {x^2} \ge 0\\{x^2} - 6x + 8 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x \le 3\\x \ne 4\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x \le 3\\x \ne 2\end{array} \right.$

Vậy $x \in \left[ { - 3;3} \right]\backslash \left\{ 2 \right\}$

Xét các hàm số :

+) \(y = f\left( x \right) = {x^2} + 1\) xác định trên \(\mathbb{R}\) có:

\(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} + 1 = {x^2} + 1 = f\left( x \right)\) nên \(y = f\left( x \right)\) chẵn.

+) \(y = g\left( x \right) = {x^5} + {x^3}\) xác định trên \(\mathbb{R}\) có:

\(g\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^5} + {\left( { - x} \right)^3} =  - {x^5} - {x^3} =  - \left( {{x^5} + {x^3}} \right) =  - g\left( x \right)\) nên \(y = g\left( x \right)\) lẻ.

Tương tự với các hàm số khác ta được kết quả:

Hàm số \(y = \left| x \right|\) là hàm số chẵn.

Hàm số \(y = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) là hàm số lẻ.

Hàm số \(y = {x^3} + {x^2}\) không chẵn không lẻ.

Hàm số \(y = {x^2} - 2\left| x \right| + 3\) là hàm số chẵn.

Hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {3 - x}  + \sqrt {x + 3} }}{{{x^2}}}\) là hàm số chẵn.

Các hàm số lẻ ở trên là: \(y = {x^5} + {x^3}\); \(y = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Vậy chỉ có $2$ hàm số này có đồ thị nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Do bề lõm của \(\left( P \right)\) quay xuống và $M$ có tung độ lớn nhất nên $M$ là đỉnh của \(\left( P \right)\).

Ta có $M\left( {1;3} \right)$ là đỉnh của parabol nên \(\dfrac{a}{{ - 4}} = 1 \Leftrightarrow a =  - 4\).

Suy ra \(y =  - 2{x^2} + 4x + b\) qua $M\left( {1;3} \right)$ nên $3 = - {2.1^2} + 4.1 + b \Leftrightarrow $ \(b = 1\)

Quan sát đồ thị ta có:

Đồ thị quay bề lõm xuống dưới nên \(a < 0\); có hoành độ đỉnh \({x_I} =  - \dfrac{b}{{2a}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{b}{a} < 0 \Rightarrow b > 0\).

Lại có: đồ thị cắt \(Oy\) tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0\).

Vậy $a < 0$, $b > 0$, $c < 0$.