Bài tập cuối chương III

ĐKXĐ: ${x^3} + {x^2} - 5x - 2 \ne 0$$\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2}\\{x \ne \dfrac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2;\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}{x^2} - 4x + 4 > 0\\x + 2 \ge 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} > 0\\x \ge  - 2\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}x \ne 2\\x \ge  - 2\end{array}\end{array}} \right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0;2} \right\}$.

Khi $x \ge 1$ thì hàm số là $y = \dfrac{1}{x}$ luôn xác định với $x \ge 1$.

$=>$ ${D_1} = \left[ {1; + \infty } \right)$

Khi $x < 1$ thì hàm số là $y = \sqrt {x + 1}$ xác định khi

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x \ge  - 1}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow  - 1 \le x < 1$

$=>$${D_2} = \left[ { - 1;1} \right)$

Do đó hàm số đã cho có tập xác định $D = \left[ {1; + \infty } \right) \cup \left[ { - 1;1} \right) = \left[ { - 1; + \infty } \right)$

ĐKXĐ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - m + 2 \ge 0}\\{\sqrt {x - m + 2}  \ne 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge m - 2}\\{x \ne m - 1}\end{array}} \right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ {m - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {m - 1} \right\}$.

Hàm số xác định trên $\left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \left( {0;1} \right) \subset \left[ {m - 2;m - 1} \right) \cup \left( {m - 1; + \infty } \right)$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {0;1} \right) \subset \left[ {m - 2;m - 1} \right)}\\{\left( {0;1} \right) \subset \left( {m - 1; + \infty } \right)}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m - 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m \le 1}\end{array}} \right.$

Vậy $m \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left\{ 2 \right\}$ là giá trị cần tìm.

Điểm $M\left( { - 1;2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi

$2 =  - m - 2({m^2} + 1) + 2{m^2} - m \Leftrightarrow m =  - 2$

Vậy $m =  - 2$ là giá trị cần tìm.

Để $N\left( {x;y} \right)$ là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua, điều kiện cần và đủ là $y = m{x^3} - 2({m^2} + 1){x^2} + 2{m^2} - m,\,\,\forall m$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{m^2}\left( {1 - {x^2}} \right) + m\left( {{x^3} - 1} \right) - 2{x^2} - y = 0,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} = 0\\{x^3} - 1\\2{x^2} + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y =  - 2}\end{array}} \right.\end{array}$

Vậy đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua điểm $N\left( {1; - 2} \right)$.

Ta tịnh tiến đồ thị hàm số $y = {x^2} + 1$ sang phải $2$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = {\left( {x - 2} \right)^2}+1$ rồi tịnh tiến lên trên $1$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = {\left( {x - 2} \right)^2}+1+1$ hay $y = {x^2} - 4x + 6$.

Vậy hàm số cần tìm là $y = {x^2} - 4x + 6$.

Ta có $- 2{x^2} - 6x + 3 =  - 2{\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{2}$

Do đó tịnh tiến đồ thị hàm số $y =  - 2{x^2}$ để được đồ thị hàm số $y =  - 2{x^2} - 6x + 3$ ta làm như sau

Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số $y =  - 2{x^2}$ đi sang bên trái $\dfrac{3}{2}$ đơn vị và lên trên đi $\dfrac{{15}}{2}$ đơn vị.

Điều kiện: $x \ge \dfrac{7}{2}$ .

$\sqrt {2x - 7}  = 1$ $\Rightarrow$ $2x - 7 = 1 \Leftrightarrow x = 4$ .

Kết hợp với điều kiện ta được $x = 4$ là nghiệm duy nhất..

Bất phương trình $- {x^2} + x - m > 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $- {x^2} + x - m \le 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$.

Ta có $- {x^2} + x - m \le 0$$\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \Delta  \le 0$ $\Leftrightarrow 1 - 4m \le 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{4}$.

Với $m - 1 \ne 0$ ta xét phương trình: $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m = 0$$\left( 1 \right)$.

Ta có: $\Delta ' = {b'^2} - ac$ $= {m^2} - m\left( {m - 1} \right)$ $= m$.

Để phương trình $\left( 1 \right)$có hai nghiệm phân biệt thì: $\Delta ' > 0$ $\Leftrightarrow m > 0$.

Giả sử ${x_1}$, ${x_2}$ là hai nghiệm của $\left( 1 \right)$ và ${x_1} > 1$, ${x_2} < 1$.

Ta có: $\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) < 0$$\Leftrightarrow$ ${x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0$$\left( * \right)$.

Theo Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1}.{x_2} = \dfrac{m}{{m - 1}}\\{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m}}{{m - 1}}\end{array} \right.$, thay vào $\left( * \right)$ ta có:

$\dfrac{m}{{m - 1}} - \dfrac{{2m}}{{m - 1}} + 1 < 0$$\Leftrightarrow$ $\dfrac{{ - 1}}{{m - 1}} < 0$$\Leftrightarrow m > 1$.

Vậy với $m > 1$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

$\sqrt {x - 1}  = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5$.

Vì $A \in \left( P \right)$ nên $3 = 4a + 2b + c$ (1).

Mặt khác $\left( P \right)$ có đỉnh $I(1;2)$ nên $- \dfrac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a + b = 0$ (2) và $I \in \left( P \right)$ suy ra $2 = a + b + c$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 3\\2a + b = 0\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 3\end{array} \right.$

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $y = {x^2} - 2x + 3$.

Ta có $c = 2$ và $\left( P \right)$ đi qua $B\left( {3; - 4} \right)$ nên $- 4 = 9a + 3b + 2 \Leftrightarrow 3a + b =  - 2$ (*)

$\left( P \right)$ có trục đối xứng là $x =  - \dfrac{3}{2}$ nên $- \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow b = 3a$ thay vào (*) ta được $3a + 3a =  - 2 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{3} \Rightarrow b =  - 1$ .

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $y =  - \dfrac{1}{3}{x^2} - x + 2$.

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{3}{4}$ khi $x = \dfrac{1}{2}$ nên ta có

$- \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = 0$ (5)

$\dfrac{3}{4} = a{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + b\left( {\dfrac{1}{2}} \right) + c$ $\Leftrightarrow a + 2b + 4c = 3$ (6) và $a > 0$

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ nhận giá trị bằng $1$ khi $x = 1$ nên $a + b + c = 1$(7)

Từ (5), (6) và (7) ta có $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a + 2b + 4c = 3\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\c = 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình $\left( P \right)$ cần tìm là $y = {x^2} - x + 1$.

Parabol cắt $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $2$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.$

Ta có: $0 = a{.2^2} + 3.2 - 2 \Leftrightarrow a =  - 1$

Vậy parabol $y =  - {x^2} + 3x - 2$

ĐK: $x \ge \dfrac{{ - 7}}{2}$

Ta có $\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7}  = {x^2} - 4$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7}  = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {\sqrt {2x + 7}  - \left( {x + 2} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\sqrt {2x + 7}  = x + 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}2x + 7 = {\left( {x + 2} \right)^2}\\x \ge  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\2x + 7 = {x^2} + 4x + 4\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

$\Rightarrow$ Tổng hai nghiệm của phương trình là: $2 + 1 = 3.$

Ta có $- \dfrac{b}{{2a}} = 3,\,\, - \dfrac{\Delta }{{4a}} =  - 1$

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y = {x^2} - 6x + 8$ có đỉnh là $I\left( {3; - 1} \right)$, đi qua các điểm $A\left( {2;0} \right),\,\,B\left( {4;0} \right)$

Nhận đường thẳng $x = 3$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.

Đường thẳng $y = m\left( { - 1 < m < 0} \right)$ song song với trục hoành nên ta thấy đường thẳng cắt đồ thị tại $2$ điểm phân biệt.

Ta có $- \dfrac{b}{{2a}} =  - 1,\,\, - \dfrac{\Delta }{{4a}} = 4$

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y =  - {x^2} - 2x + 3$ có đỉnh là $I\left( { - 1;4} \right)$, đi qua các điểm $A\left( {1;0} \right),\,\,B\left( { - 3;0} \right)$

Nhận đường thẳng $x =  - 1$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.

Trên đoạn $\left[ { - 3;1} \right]$thì hàm số đạt GTNN $y = 0$

Ta có $\Delta ' = {\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {{m^2} - 3} \right) = 6m + 12$

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 6m + 12 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 2$

Theo định lý Viét ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m + 3} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 3}\end{array}} \right.$

$P =  - 10\left( {m + 3} \right) - 2\left( {{m^2} - 3} \right) =  - 2{m^2} - 10m - 24$

Xét hàm số $y =  - 2{x^2} - 10x - 24$ với $x \in \left[ { - 2; + \infty } \right)$

Bảng biến thiên

Suy ra $\mathop {max}\limits_{\left[ { - 2; + \infty } \right)} y =  - 12$ khi và chỉ khi $x =  - 2$

Vậy $m =  - 2$ là giá trị cần tìm.