Phương trình đường tròn

$(C):{x^2} + {y^2} = 1$  có tâm $O(0;0)$ và bán kính $R = 1$

Do đó, $d$ tiếp xúc với đường tròn $(C)$ khi $d\left( {I;d} \right) = R$ hay ta có phương trình

$\dfrac{{|4.0 + 3.0 + m|}}{5} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{|m|}}{5} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 5$

$(C )$ có tâm $O(0;0)$ bán kính $R = \sqrt 2$. Ta thấy $M \in (C)$.  Có $\overrightarrow {OM}  = (1;1)$ là $1$ vector pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M.$ Do đó phương trình tiếp tuyến tại $M$ là: $1\left( {x - 1} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0$

$\left( {{C_1}} \right)$ có bán kính ${R_1} = 2$ ; $\left( {{C_2}} \right)$ có bán kính ${R_2} = 4$

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x = 0\\{x^2} + {y^2} + 8y = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x = 0\\x =  - 2y\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{y^2} + 8y = 0\\x =  - 2y\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0,x = 0\\y =  - \dfrac{8}{5},x = \dfrac{{16}}{5}\end{array} \right.$

Vậy hai đường tròn có tất cả $2$ điểm chung nên chúng cắt nhau.

Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc ${60^o}$$\Leftrightarrow$ hệ số góc của tiếp tuyến là $\tan {60^0}$ hoặc  $\tan {120^0}$

Do đó tiếp tuyến $d$ có dạng $y = \sqrt 3 x + b$ hoặc $y =  - \sqrt 3 x + b$

Đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x = 0 \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 1$ có  tâm $I\left( { - 1;0} \right)$ và bán kính $R = 1$

$d$  tiếp xúc với đường tròn $\Leftrightarrow d(I,d) = R$$\Leftrightarrow \dfrac{{\left| { \pm \sqrt 3 .( - 1) + b} \right|}}{2} = 1$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b =  \pm 2 + \sqrt 3 }\\{b =  \pm 2 - \sqrt 3 }\end{array}} \right.$

Vậy ta có $4$  tiếp tuyến :

$\sqrt 3 x - y - 2 + \sqrt 3  = 0,$ $\sqrt 3 x - y + 2 + \sqrt 3  = 0,$ $\sqrt 3 x + y - 2 + \sqrt 3  = 0,$ $\sqrt 3 x + y + 2 + \sqrt 3  = 0$.

Hình ảnh minh họa:

Đường tròn $\left( C \right):2{x^2} + 2{y^2} - 7x - 2 = 0$$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \dfrac{7}{2}x - 1 = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{7}{4}} \right)^2} + {y^2} = \dfrac{{65}}{{16}}$

$\Rightarrow$ $\left( C \right)$  có tâm  $I\left( {\dfrac{7}{4};0} \right)$ và bán kính $R = \dfrac{{\sqrt {65} }}{4}$

Đường thẳng $AB$  với $A\left( { - 2;0} \right)$ và $B\left( {4;3} \right)$  có phương trình  $\dfrac{{x + 2}}{6} = \dfrac{y}{3}$ hay $y = \dfrac{{x + 2}}{2}$

+ Giao điểm của $\left( C \right)$ với đường thẳng $AB$  có tọa độ là nghiệm hệ PT

$\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 2{y^2} - 7x - 2 = 0\\{\rm{y  = }}\dfrac{{x + 2}}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 2{\left( {\dfrac{{x + 2}}{2}} \right)^2} - 7x - 2 = 0\\{\rm{y  = }}\dfrac{{x + 2}}{2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x(x - 2) = 0\\{\rm{y  = }}\dfrac{{x + 2}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0;y = 1\\x = 2;y = 2\end{array} \right.$

   Vậy có hai giao điểm là $M\left( {0;1} \right)$  và $N\left( {2;2} \right)$

+ Các tiếp tuyến của $\left( C \right)$  tại $M$  và $N$  lần lượt nhận các vectơ $\overrightarrow {IM}  = \left( { - \dfrac{7}{4};1} \right)$ và $\overrightarrow {IN}  = \left( {\dfrac{1}{4};2} \right)$ làm các vectơ pháp tuyến, do đó các TT đó có phương trình lần lượt là:

$- \dfrac{7}{4}(x - 0) + 1(y - 1) = 0$ hay $7x - 4y + 4 = 0$

 $\dfrac{1}{4}(x - 2) + 2(y - 2) = 0$ hay $x + 8y - 18 = 0$

Tâm $I$ của đường tròn thuộc $\Delta$ nên $I(-3t – 8; t)$

Theo yc thì k/c từ $I$ đến $\Delta '$ bằng k/c $IA$ nên ta có $\dfrac{{\left| {3( - 3t - 8) - 4t + 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \sqrt {{{( - 3t - 8 + 2)}^2} + {{(t - 1)}^2}}$

$\Leftrightarrow \left| { - 13t - 14} \right| = 5\sqrt {{{\left( {3t + 6} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2}}$

$\Leftrightarrow {\left( {13t + 14} \right)^2} = 25\left( {10{t^2} + 34t + 37} \right)$ $\Leftrightarrow  - 81{t^2} - 486t - 729 = 0$ $\Leftrightarrow t =  - 3$

Khi đó $I(1; -3), R = 5$ và pt cần tìm: ${\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2} = {\rm{ }}25$

$(C)$ có tâm $I(1;-2)$ và bán kính $R = 3.$

Ta có: $\Delta PAB$  đều

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {APB} = {60^0} \Rightarrow \widehat {API} = \frac{1}{2}\widehat {APB} = {30^0}\\ \Rightarrow IP = \frac{{IA}}{{\sin \widehat {API}}} = \frac{3}{{\sin {{30}^0}}} = 6 \end{array}$

Suy ra $P$ thuộc đường tròn $(C')$ tâm $I,$ bán kính $R ' = 6.$

Trên $d$ có duy nhất một điểm $P$ thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi $d$ tiếp xúc với $(C')$ tại $P$

$\Leftrightarrow d\left( {I,d} \right) = R'$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) + m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 6 \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 11} \right|}}{5} = 6\\ \Leftrightarrow \left| {m + 11} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m + 11 = 30\\ m + 11 = - 30 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 19\\ m = - 41 \end{array} \right. \end{array}$

Đường tròn $(C):$ ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 1$ có tâm $I (1; 0); R = 1$

Ta có $\widehat {IMO} = {30^0}$ suy ra tam giác $IOM$ cân tại $I$ $\Rightarrow \widehat {MOI} = {30^0}$

Suy ra $OM$  có hệ số góc $k =  \pm \tan {30^0} =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

Suy ra phương trình $OM$ là $y =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}x$

Thay vào phương trình đường tròn $(C)$ ta có ${x^2} - 2x + \dfrac{{{x^2}}}{3} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0(L)}\\{x = \dfrac{3}{2}}\end{array}} \right.$

Vậy $M\left( {\dfrac{3}{2}; \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$

Vì $\Delta$ song song với $d$ nên phương trình $\Delta$ có dạng $x - y + m = 0$

Kẻ $IH$ vuông góc vơi $MN$ ta có $HM = HN = \dfrac{1}{2}MN = 1$

Đường tròn $(C )$ có tâm $I(-1;2)$ và bán kính $R = \sqrt 5$

Từ đó $IH = \sqrt {I{M^2} - H{M^2}}  = 2 \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 1 - 2 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2\sqrt 2  + 3}\\{m =  - 2\sqrt 2  + 3}\end{array}} \right.$

Vậy có $2$ tiếp tuyến cần tìm $x - y + 2\sqrt 2  + 3 = 0$ và $x - y - 2\sqrt 2  + 3 = 0$

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(4;3)$ và bán kính $R=2.$

Ta thấy ngay được điểm $M$ nằm trong đường tròn vì ${\left( {5 - 4} \right)^2} + {\left( {2 - 3} \right)^2} = 2 < 4$

Do $MA=MB$ và $IM$ vuông góc $AB$

Nên đường thẳng $d$ cần tìm đi qua $M(5;2)$ và nhận vectơ $\overrightarrow {IM}  = \left( {1; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến

Phương trình của đường thẳng $d$ là $x - y - 3 = 0$

$d:x + 2y - 4 = 0$.

Đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5$ có tâm $I\left( {2;1} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 5 .$

Ta có: $d\left( {I;\,\,d} \right) = \dfrac{{\left| {2 + 2.1 - 4} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2}} }} = 0 \Rightarrow I \in d.$

$\Rightarrow d$ là đường thẳng đi qua đường kính của đường tròn $\left( C \right)$

$\Rightarrow d$ cắt $\left( C \right)$ theo dây cung $AB = 2R = 2\sqrt 5 .$

Bán kính của đường tròn tâm $I\left( {3;2} \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $d:x + 5y + 1 = 0$ là:

$R = d\left( {I,d} \right) = \dfrac{{\left| {3 + 5.2 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}} }} = \dfrac{{14}}{{\sqrt {26} }} = \dfrac{{7\sqrt {26} }}{{13}}.$

$\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 31 = 0$$\Leftrightarrow \left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 36.$

Vậy $I\left( { - 1; - 2} \right),R = 6.$

Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $I$ xuống $AB$, thì $H$ là trung điểm của $AB$.

${S_{IAB}} = \dfrac{1}{2}IH.AB = IH.HA\mathop  \le \limits^{AM - GM} \dfrac{{I{H^2} + H{A^2}}}{2} = \dfrac{{I{A^2}}}{2} = \dfrac{{{R^2}}}{2} = 18.$

Vậy diện tích tam giác $IAB$ có giá trị lớn nhất là $18.$

Đường tròn $(C):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4$ có tâm $I\left( { - 1;2} \right)$, bán kính $R = 2$

Dễ thấy $d\left( {I,Oy} \right) = 1 < 2 = R$ nên đường tròn $\left( C \right)$ cắt trục $Oy$ tại hai điểm phân biệt.

Phương trình đường tròn ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ có tâm $I\left( {a;b} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}$.

Do đó: $c = {a^2} + {b^2} - {R^2}$.

Phương trình của đường tròn có tâm $I( - 3;4)$ và bán kính $R = 2$ là: ${(x + 3)^2} + {(y - 4)^2} = {2^2}$ hay${(x + 3)^2} + {(y - 4)^2} - 4 = 0$

${x^2} + {y^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 4my + 19m - 6 = 0\,\,\,\,\left( * \right)$

(*) là phương trình đường tròn khi ${\left( {m + 2} \right)^2} + {\left( {2m} \right)^2} - 19m + 6 > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 15m + 10 > 0$$\Leftrightarrow$ $m < 1$ hoặc $m > 2$

${x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0$ có hệ số $a = 1,b =  - 2,c = 1$  sẽ có tâm $I\left( {1; - 2} \right)$ và $R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} - 1}  = 2$

Gọi đường tròn có phương trình ${x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\,\left( C \right)$

$A,\,B,\,C \in \left( C \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 + 8b + c = 0\\20 + 4a + 8b + c = 0\\16 + 8a + c = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 1\\c =  - 8\end{array} \right. \to I\left( {1;1} \right)$

${x^2} + {y^2} = 1.$ Thay $x = 0,y = 0$ ta có ${0^2} + {0^2} = 1$ là mệnh đề A sai.

${x^2} + {y^2} - x - y + 2 = 0$. Thay $x = 0,y = 0$ ta có $2 = 0$ là mệnh đề B sai.

${x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 8 = 0.$ Thay $x = 0,y = 0$ ta có $8 = 0$ là mệnh đề C sai.

${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25.$ Thay $x = 0,y = 0$ ta có ${\left( { - 3} \right)^2} + {\left( { - 4} \right)^2} = 25$ là mệnh đề đúng. Vậy ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25.$ đi qua gốc tọa độ.