Bài tập cuối chương I

$\overline K :$ " Phương trình ${x^4} - 2{x^2} + 2 = 0$ vô nghiệm ", mệnh đề này đúng vì ${x^4} - 2{x^2} + 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + 1 > 0$

Ta có mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ đúng vì mệnh đề $P \Rightarrow Q,\,\,Q \Rightarrow P$ đều đúng và được phát biểu như sau:

"Tứ giác $ABCD$ là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác $ABCD$ là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau" hoặc "Tứ giác $ABCD$ là hình thoi nếu và chỉ nếu tứ giác $ABCD$ là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau"

Mệnh đề phủ định của mệnh đề $K$ là $\overline K :$" Bất phương trình ${x^{2013}} > 2030$ có nghiệm ", mệnh đề này đúng, cụ thể có thể chọn giá trị $x = 2$ thỏa mãn bất phương trình.

Xét từng mệnh đề bài cho ta thấy mệnh đề A và D là các mệnh đề đúng, mệnh đề B, C là sai.

Ta xét từng đáp án sau:

Đáp án A: Ta thấy mệnh đề $A \Rightarrow B$ sai vì $A$ đúng và $B$ sai $\Rightarrow$ đáp án A đúng.

Đáp án B: Ta thấy mệnh đề $A \Leftrightarrow D$ đúng vì hai mệnh đề $A$ và $D$ đều đúng $\Rightarrow$ đáp án B đúng.

Đáp án C: Ta thấy mệnh đề $B \Leftrightarrow C$ đúng vì hai mệnh đề $B$ và $C$ đều sai $\Rightarrow$ đáp án C đúng.

Đáp án D: Ta thấy mệnh đề $A \Rightarrow D$ đúng vì $A$ và $D$ đều đúng $\Rightarrow$ đáp án D sai.

Ta có: Mệnh đề $P$ đúng, $Q$ sai.

Mệnh đề $\overline Q :$ “${\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)^2} \le {\left( { - 1} \right)^2}$” là mệnh đề đúng.

$P \Rightarrow Q$: " Nếu $\sqrt 2  - \sqrt 3  >  - 1$ thì ${\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)^2} > {\left( { - 1} \right)^2}$ "

$\overline Q  \Rightarrow P$: " Nếu ${\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)^2} \le {\left( { - 1} \right)^2}$ thì $\sqrt 2  - \sqrt 3  >  - 1$ "

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ sai vì $P$ đúng, $Q$ sai, mệnh đề $\overline Q  \Rightarrow P$ đúng vì $\overline Q$ và $P$ đều đúng.

Đáp án A:$P\left( 1 \right):1 > {1^3}$ đây là mệnh đề sai nên A sai.

Đáp án B: $P\left( {\dfrac{1}{3}} \right):\dfrac{1}{3} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3}$ đây là mệnh đề đúng nên B đúng.

Đáp án C: $\forall x \in N,\,\,x > {x^3}$ là mệnh đề sai vì $P\left( 1 \right)$ là mệnh đề sai nên C sai.

Đáp án D: $\exists x \in N,\,\,x > {x^3}$ là mệnh đề sai vì $x - {x^3} = x\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right) \le 0$ với mọi số tự nhiên nên không tồn tại số tự nhiên $x$ nào thỏa mãn $x > {x^3}$ nên D sai.

Ta có $Q:\,\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^2} \ge 0$, mệnh đề phủ định là $\overline Q :\,\exists x \in \mathbb{R},\,\,{x^2} < 0$

Mệnh đề $B$ đúng và $\overline B$ : “Mọi số tự nhiêu đều không phải là số nguyên tố"

+ Với $x = \dfrac{1}{4}$ ta có ${\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} - 2.\dfrac{1}{4} =  - \dfrac{7}{{16}} < 0$ nên $P\left( {\dfrac{1}{4}} \right)$ sai.

+ Với $x = 2$ ta có ${2^2} - 2.2 = 0 \ge 0$ nên $P\left( 2 \right)$ là mệnh đề đúng.

+ Với $x = 1$ thì ${1^2} - 2.1 =  - 1 < 0$ nên $P\left( 1 \right)$ sai.

+ Với $x = 0,5$ thì ${0,5^2} - 2.0,5 =  - \dfrac{3}{4} < 0$ nên $P\left( {0,5} \right)$ sai.

Đáp án A: Mệnh đề $\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^3} - {x^2} + 1 > 0$ sai chẳng hạn khi $x =  - 1$ ta có ${\left( { - 1} \right)^3} - {\left( { - 1} \right)^2} + 1 =  - 1 < 0$

Đáp án B: Mệnh đề $\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^4} - {x^2} + 1 = \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} - \sqrt 3 x + 1} \right)$ đúng vì

$\,{x^4} - {x^2} + 1 = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - 3{x^2} = \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} - \sqrt 3 x + 1} \right)$

Đáp án C: Mệnh đề $\exists x \in N,\,\,{n^2} + 3$ chia hết cho $4$ đúng vì $n = 1 \in N$và ${n^2} + 3 = 4 \vdots 4$

Đáp án D: Mệnh đề "$\forall n \in N,\,n\left( {n + 1} \right)$ là một số chẵn" đúng vì $n,n + 1$ là hai số tự nhiên liên tiếp và trong hai số tự nhiên liên tiếp luôn có $1$ số chẵn nên tích của chúng chia hết cho $2$ (là một số chẵn)

Mệnh đề $P:$$''\forall x \in R,x \in \mathbb{Q} \Rightarrow 2x \in \mathbb{Q}''$. Mệnh đề này đúng vì $x \in \mathbb{Q},2 \in \mathbb{Q}$ nên $2x \in \mathbb{Q}$

Vì mệnh đề $P$ đúng nên mệnh đề $\overline P$ sai.

“$\forall n \in \mathbb{N},\,\,B(n) \Rightarrow A(n)$” : Với mọi số tự nhiên $n,$ nếu ${n^2}$ là số chẵn thì $n$ là số chẵn.

$3$ là một phần tử của tập hợp $A$.

$\left\{ {3,4} \right\}$ là một tập con của tập hợp $A$. Ký hiệu: $\left\{ {3,4} \right\} \subset A$.

$\left\{ {a,3,b} \right\}$ là một tập con của tập hợp $A$. Ký hiệu: $\left\{ {a,3,b} \right\} \subset A$.

$A = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{Z}\left| {\left| {\rm{x}} \right| < 1} \right.} \right\} \Rightarrow A = \left\{ 0 \right\}.$

$B = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{Z}\left| {6{x^2} - 7x + 1 = 0} \right.} \right\}$.

Ta có $6{x^2} - 7x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{1}{6} \notin \mathbb{Z}\end{array} \right.$ $\Rightarrow B = \left\{ 1 \right\}.$

$C = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{Q}\left| {{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - 4x + 2 = 0} \right.} \right\}$.

Ta có ${x^2} - 4x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 - \sqrt 2  \notin \mathbb{Q}\\x = 2 + \sqrt 2  \notin \mathbb{Q}\end{array} \right.$ $\Rightarrow C = \emptyset$

$D = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{R}\left| {{x^2} - 4x + 3 = 0} \right.} \right\}$.

Ta có ${x^2} - 4x + 3 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$ $\Rightarrow D = \left\{ {1;\,3} \right\}.$

Số tập con của tập hợp $X$ là: ${2^4} = 16$ nên A đúng.

Các tập hợp con có $2$ phần tử của $X$ là:

$\left\{ {1;2} \right\},\left\{ {1;3} \right\},\left\{ {1;4} \right\},\left\{ {2;3} \right\},\left\{ {2;4} \right\},\left\{ {3;4} \right\}$

Có $6$ tập hợp con gồm $2$ phần tử nên B sai.

Số tập con của tập hợp $X$ chứa số $1$ là: $8$ nên C sai.

Đó là các tập hợp: $\left\{ 1 \right\}$, $\left\{ {1;2} \right\},\left\{ {1;3} \right\}$, $\left\{ {1;4} \right\}$, $\left\{ {1;2;3} \right\}$, $\left\{ {1;2;4} \right\}$, $\left\{ {1;3;4} \right\}$, $\left\{ {1;2;3;4} \right\}.$

Số tập con có $3$ phần tử của tập hợp $X$ là: $4$, cụ thể: $\left\{ {1;2;3} \right\},\left\{ {1;2;4} \right\},\left\{ {2;3;4} \right\},\left\{ {1;3;4} \right\}$ nên D sai.

Biểu diễn A và phần bù của A:

${C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left[ { - 3;2} \right)$$= \left( { - \infty ;\, - 3} \right) \cup \left[ {2;\, + \infty } \right).$

A sai vì $\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} = I$

B sai vì ${\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{N} \Rightarrow {\mathbb{N}^*} \cup \mathbb{N} = \mathbb{N}$

C sai vì ${\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{Z} \Rightarrow {\mathbb{N}^*} \cap \mathbb{Z} = {\mathbb{N}^*}$

D đúng do ${\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{Q} \Rightarrow {\mathbb{N}^*} \cap \mathbb{Q} = {\mathbb{N}^*}$

+) $M = \left\{ {0;\,2;\,4;\,6;\,8;\,10 ;\,12;...} \right\};$ $N = \left\{ {0;\,6;\,12;...} \right\}$

Ta thấy các phần tử của $N$ đều xuất hiện trong tập $M$ nên $N$ là tập con của $M$ 

$\Rightarrow N \subset M \Rightarrow M \cap N = N$ $\Rightarrow$A sai và C đúng

+) $P = \left\{ {1;\,2} \right\};$ $Q = \left\{ {1;\,2;\,3;\,6} \right\}$ $\Rightarrow \,\,P \subset Q,\,\,P \cap Q = P$

$\Rightarrow$ B và D đều sai.

$A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\},B = \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}.$

$A\backslash B = \left\{ {0;1} \right\},\,\,B\backslash A = \left\{ {5;6} \right\}$$\Rightarrow \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {B\backslash A} \right) = \left\{ {0;1;5;6} \right\}$

${C_\mathbb{R}}A = \left[ { - 3;\sqrt 8 } \right)$, ${C_\mathbb{R}}B = \left( { - 5;2} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;\sqrt {11} } \right) = \left( { - 5;\,\sqrt {11} } \right)$

$A = \left( { - \infty ;\, - 3} \right) \cup \left[ {\sqrt 8 ; + \infty } \right)$, $B = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {\sqrt {11} ; + \infty } \right).$

$\Rightarrow A \cap B = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {\sqrt {11} ; + \infty } \right)$$\Rightarrow {C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \left( { - 5;\sqrt {11} } \right).$