Bài tập cuối chương I

\(\overline K :\) " Phương trình \({x^4} - 2{x^2} + 2 = 0\) vô nghiệm ", mệnh đề này đúng vì \({x^4} - 2{x^2} + 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + 1 > 0\)

Ta có mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) đúng vì mệnh đề \(P \Rightarrow Q,\,\,Q \Rightarrow P\) đều đúng và được phát biểu như sau:

"Tứ giác \(ABCD\) là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau" hoặc "Tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nếu và chỉ nếu tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau"

Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(K\) là \(\overline K :\)" Bất phương trình \({x^{2013}} > 2030\) có nghiệm ", mệnh đề này đúng, cụ thể có thể chọn giá trị \(x = 2\) thỏa mãn bất phương trình.

Xét từng mệnh đề bài cho ta thấy mệnh đề A và D là các mệnh đề đúng, mệnh đề B, C là sai.

Ta xét từng đáp án sau:

Đáp án A: Ta thấy mệnh đề $A \Rightarrow B$ sai vì $A$ đúng và $B$ sai \(\Rightarrow\) đáp án A đúng.

Đáp án B: Ta thấy mệnh đề $A \Leftrightarrow D$ đúng vì hai mệnh đề $A$ và $D$ đều đúng \(\Rightarrow\) đáp án B đúng.

Đáp án C: Ta thấy mệnh đề $B \Leftrightarrow C$ đúng vì hai mệnh đề $B$ và $C$ đều sai \(\Rightarrow\) đáp án C đúng.

Đáp án D: Ta thấy mệnh đề $A \Rightarrow D$ đúng vì $A$ và $D$ đều đúng \(\Rightarrow\) đáp án D sai.

Ta có: Mệnh đề $P$ đúng, $Q$ sai.

Mệnh đề \(\overline Q :\) “\({\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)^2} \le {\left( { - 1} \right)^2}\)” là mệnh đề đúng.

\(P \Rightarrow Q\): " Nếu \(\sqrt 2  - \sqrt 3  >  - 1\) thì \({\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)^2} > {\left( { - 1} \right)^2}\) "

\(\overline Q  \Rightarrow P\): " Nếu \({\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)^2} \le {\left( { - 1} \right)^2}\) thì \(\sqrt 2  - \sqrt 3  >  - 1\) "

Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) sai vì $P$ đúng, $Q$ sai, mệnh đề \(\overline Q  \Rightarrow P\) đúng vì \(\overline Q \) và \(P\) đều đúng.

Đáp án A:\(P\left( 1 \right):1 > {1^3}\) đây là mệnh đề sai nên A sai.

Đáp án B: $P\left( {\dfrac{1}{3}} \right):\dfrac{1}{3} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3}$ đây là mệnh đề đúng nên B đúng.

Đáp án C: \(\forall x \in N,\,\,x > {x^3}\) là mệnh đề sai vì \(P\left( 1 \right)\) là mệnh đề sai nên C sai.

Đáp án D: \(\exists x \in N,\,\,x > {x^3}\) là mệnh đề sai vì \(x - {x^3} = x\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right) \le 0\) với mọi số tự nhiên nên không tồn tại số tự nhiên \(x\) nào thỏa mãn \(x > {x^3}\) nên D sai.

Ta có \(Q:\,\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^2} \ge 0\), mệnh đề phủ định là \(\overline Q :\,\exists x \in \mathbb{R},\,\,{x^2} < 0\)

Mệnh đề $B$ đúng và \(\overline B \) : “Mọi số tự nhiêu đều không phải là số nguyên tố"

+ Với \(x = \dfrac{1}{4}\) ta có \({\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} - 2.\dfrac{1}{4} =  - \dfrac{7}{{16}} < 0\) nên \(P\left( {\dfrac{1}{4}} \right)\) sai.

+ Với $x = 2$ ta có \({2^2} - 2.2 = 0 \ge 0\) nên \(P\left( 2 \right)\) là mệnh đề đúng.

+ Với \(x = 1\) thì \({1^2} - 2.1 =  - 1 < 0\) nên \(P\left( 1 \right)\) sai.

+ Với \(x = 0,5\) thì \({0,5^2} - 2.0,5 =  - \dfrac{3}{4} < 0\) nên \(P\left( {0,5} \right)\) sai.

Đáp án A: Mệnh đề \(\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^3} - {x^2} + 1 > 0\) sai chẳng hạn khi $x =  - 1$ ta có \({\left( { - 1} \right)^3} - {\left( { - 1} \right)^2} + 1 =  - 1 < 0\)

Đáp án B: Mệnh đề \(\forall x \in \mathbb{R},\,\,{x^4} - {x^2} + 1 = \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} - \sqrt 3 x + 1} \right)\) đúng vì

\(\,{x^4} - {x^2} + 1 = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - 3{x^2} = \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} - \sqrt 3 x + 1} \right)\)

Đáp án C: Mệnh đề \(\exists x \in N,\,\,{n^2} + 3\) chia hết cho $4$ đúng vì \(n = 1 \in N\)và \({n^2} + 3 = 4 \vdots 4\)

Đáp án D: Mệnh đề "\(\forall n \in N,\,n\left( {n + 1} \right)\) là một số chẵn" đúng vì \(n,n + 1\) là hai số tự nhiên liên tiếp và trong hai số tự nhiên liên tiếp luôn có \(1\) số chẵn nên tích của chúng chia hết cho \(2\) (là một số chẵn)

Mệnh đề $P:$$''\forall x \in R,x \in \mathbb{Q} \Rightarrow 2x \in \mathbb{Q}''$. Mệnh đề này đúng vì \(x \in \mathbb{Q},2 \in \mathbb{Q}\) nên $2x \in \mathbb{Q}$

Vì mệnh đề $P$ đúng nên mệnh đề $\overline P$ sai.

“$\forall n \in \mathbb{N},\,\,B(n) \Rightarrow A(n)$” : Với mọi số tự nhiên $n,$ nếu ${n^2}$ là số chẵn thì $n$ là số chẵn.

$3$ là một phần tử của tập hợp $A$.

$\left\{ {3,4} \right\}$ là một tập con của tập hợp $A$. Ký hiệu: $\left\{ {3,4} \right\} \subset A$.

$\left\{ {a,3,b} \right\}$ là một tập con của tập hợp $A$. Ký hiệu: $\left\{ {a,3,b} \right\} \subset A$.

$A = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{Z}\left| {\left| {\rm{x}} \right| < 1} \right.} \right\} \Rightarrow A = \left\{ 0 \right\}.$

$B = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{Z}\left| {6{x^2} - 7x + 1 = 0} \right.} \right\}$.

Ta có $6{x^2} - 7x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{1}{6} \notin \mathbb{Z}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow B = \left\{ 1 \right\}.$

$C = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{Q}\left| {{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - 4x + 2 = 0} \right.} \right\}$.

Ta có ${x^2} - 4x + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 - \sqrt 2  \notin \mathbb{Q}\\x = 2 + \sqrt 2  \notin \mathbb{Q}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow C = \emptyset $

$D = \left\{ {{\rm{x}} \in \mathbb{R}\left| {{x^2} - 4x + 3 = 0} \right.} \right\}$.

Ta có ${x^2} - 4x + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$ $ \Rightarrow D = \left\{ {1;\,3} \right\}.$

Số tập con của tập hợp \(X\) là: \({2^4} = 16\) nên A đúng.

Các tập hợp con có \(2\) phần tử của \(X\) là:

\(\left\{ {1;2} \right\},\left\{ {1;3} \right\},\left\{ {1;4} \right\},\left\{ {2;3} \right\},\left\{ {2;4} \right\},\left\{ {3;4} \right\}\)

Có \(6\) tập hợp con gồm \(2\) phần tử nên B sai.

Số tập con của tập hợp \(X\) chứa số \(1\) là: \(8\) nên C sai.

Đó là các tập hợp: \(\left\{ 1 \right\}\), \(\left\{ {1;2} \right\},\left\{ {1;3} \right\}\), \(\left\{ {1;4} \right\}\), \(\left\{ {1;2;3} \right\}\), \(\left\{ {1;2;4} \right\}\), \(\left\{ {1;3;4} \right\}\), \(\left\{ {1;2;3;4} \right\}.\)

Số tập con có $3$ phần tử của tập hợp \(X\) là: \(4\), cụ thể: \(\left\{ {1;2;3} \right\},\left\{ {1;2;4} \right\},\left\{ {2;3;4} \right\},\left\{ {1;3;4} \right\}\) nên D sai.

Biểu diễn A và phần bù của A:

\({C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\backslash \left[ { - 3;2} \right)\)\( = \left( { - \infty ;\, - 3} \right) \cup \left[ {2;\, + \infty } \right).\)

A sai vì \(\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} = I\)

B sai vì ${\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{N} \Rightarrow {\mathbb{N}^*} \cup \mathbb{N} = \mathbb{N}$

C sai vì ${\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{Z} \Rightarrow {\mathbb{N}^*} \cap \mathbb{Z} = {\mathbb{N}^*}$

D đúng do ${\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{Q} \Rightarrow {\mathbb{N}^*} \cap \mathbb{Q} = {\mathbb{N}^*}$

+) \(M = \left\{ {0;\,2;\,4;\,6;\,8;\,10 ;\,12;...} \right\};\) $N = \left\{ {0;\,6;\,12;...} \right\}$

Ta thấy các phần tử của $N$ đều xuất hiện trong tập $M$ nên $N$ là tập con của $M$ 

$ \Rightarrow N \subset M \Rightarrow M \cap N = N$ $\Rightarrow$A sai và C đúng

+) $ P = \left\{ {1;\,2} \right\};$ $Q = \left\{ {1;\,2;\,3;\,6} \right\}$ $ \Rightarrow \,\,P \subset Q,\,\,P \cap Q = P$

$\Rightarrow$ B và D đều sai.

$A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\},B = \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}.$

$A\backslash B = \left\{ {0;1} \right\},\,\,B\backslash A = \left\{ {5;6} \right\}$$ \Rightarrow \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {B\backslash A} \right) = \left\{ {0;1;5;6} \right\}$

${C_\mathbb{R}}A = \left[ { - 3;\sqrt 8 } \right)$, ${C_\mathbb{R}}B = \left( { - 5;2} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;\sqrt {11} } \right) = \left( { - 5;\,\sqrt {11} } \right)$

$A = \left( { - \infty ;\, - 3} \right) \cup \left[ {\sqrt 8 ; + \infty } \right)$, $B = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {\sqrt {11} ; + \infty } \right).$

$ \Rightarrow A \cap B = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {\sqrt {11} ; + \infty } \right)$$ \Rightarrow {C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \left( { - 5;\sqrt {11} } \right).$