Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

 $\left\{ \begin{align} & {{d}_{1}}:x+2y-7=0\to {{{\vec{n}}}_{1}}=\left( 1;2 \right) \\  & {{d}_{2}}:2x-4y+9=0\to {{{\vec{n}}}_{2}}=\left( 1;-2 \right) \\ \end{align} \right.$ $\xrightarrow{\varphi =\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)}\cos \varphi =\dfrac{\left| 1-4 \right|}{\sqrt{1+4}.\sqrt{1+4}}=\dfrac{3}{5}.$

Ta có

   \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:3x + 4y + 12 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {3;4} \right)\\{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 - 2t\end{array} \right. \to {{\vec n}_2} = \left( {2;a} \right)\end{array} \right.\)

\(\varphi  = \left( {{d_1};{d_2}} \right) = {45^0} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos {45^0} = \cos \varphi  = \dfrac{{\left| {6 + 4a} \right|}}{{\sqrt {25} .\sqrt {{a^2} + 4} }}\)

\( \Leftrightarrow 25\left( {{a^2} + 4} \right) = 8\left( {4{a^2} + 12a + 9} \right) \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 14\\a = \dfrac{2}{7}\end{array} \right..\)

Tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng x-3y+4=0 và 2x+3y-1=0 thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 4 = 0\\2x + 3y - 1 = 0\end{array} \right. \)

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 3y = - 4\\
2x + 3y = 1
\end{array} \right.$

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right. \)

\(\to A\left( { - 1;1} \right) \)

\(\to d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - 3 + 1 + 4} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {10} }}.\)

Cách 1:

+) Viết phương trình \(BC\):

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 4} \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_{BC}}}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \left( {1; - 2} \right)\) là VTCP của \(BC\), do đó \(\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {2;1} \right)\).

Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {1;5} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {2;1} \right)\) làm VTPT nên: \(BC:2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0\) hay \(BC:2x + y - 7 = 0\).

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}A\left( {3; - 4} \right)\\B\left( {1;5} \right),\,C\left( {3;1} \right)\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}A\left( {3; - 4} \right)\\BC = 2\sqrt 5 \\BC:2x + y - 7 = 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}BC = 2\sqrt 5 \\{h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \sqrt 5 \end{array} \right.$

 $ \to {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 5 .\sqrt 5  = 5.$

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\), khi đó \(M \in {d_1}\) nên tọa độ của \(M\) thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.$

 Thay vào ${d_2}$  ta có: $\dfrac{{ - 1 + 3t + 3}}{3} = \dfrac{{1 + 2t}}{1} $ $\Rightarrow \dfrac{{3t + 2}}{3} = \dfrac{{1 + 2t}}{1}$ $ \Rightarrow 3t + 2 = 6t + 3$ $ \Rightarrow 3t =  - 1 $ $\Rightarrow t = \dfrac{{ - 1}}{3}$

Giao điểm của hai đường thẳng là $\left( { - 2;\dfrac{1}{3}} \right)$

Ta có:

\({d_1}\) cắt ${d_2}$ khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| \ne 0 \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} \ne 0\\ \Leftrightarrow m.m - 1.1 \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\end{array}\)

+) TH1: \(\left( d \right)\) không có hệ số góc.

Khi đó phương trình \(\left( d \right)\) có dạng: \(x - c = 0\).

\(\left( d \right)\) đi qua \(M\left( {1;2} \right)\) nên \(x - 1 = 0\) nên có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1;0} \right)\).

\( \Rightarrow \cos \left( {d,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}\) \( = \dfrac{{\left| {3.1 - 2.0} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {13} }}\) \( \ne \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos {45^0}\).

Do đó đường thẳng này không thỏa mãn bài toán.

+) TH2: \(\left( d \right)\) có hệ số góc.

PTĐT $\left( d \right)$ được viết dưới dạng: \(y - 2 = k\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow kx - y + 2-k = 0\)

Vì $\left( d \right)$ hợp với $\left( \Delta  \right)$ một góc ${45^0}$ nên: ${\rm{cos 4}}{{\rm{5}}^0} = \dfrac{{|3k + ( - 1).( - 2)|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} .\sqrt {{3^2} + {{( - 2)}^2}} }}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{|3k + 2|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {{k^2} + 1} }}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{2}{4} = \dfrac{{9{k^2} + 12k + 4}}{{13.({k^2} + 1)}}$

\( \Leftrightarrow 5{k^2} + 24k - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{5}\\k =  - 5\end{array} \right.\)

Vậy phương trình $\left( d \right)$ là: \(\dfrac{1}{5}x - y + 2 - \dfrac{1}{5} = 0 \Leftrightarrow x - 5y + 9 = 0\) hay \( - 5x - y + 2 - ( - 5) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 7 = 0\)

Ta thấy \(\dfrac{3}{3} \ne \dfrac{{ - 2}}{2}\) nên hai đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) và \(\left( {{d_1}} \right)\) cắt nhau.

Ta có \(\left( d \right):\,y = 2x - 1 \Rightarrow \left( d \right):2x - y - 1 = 0\).

Xét từng đáp án ta thấy:

Đáp án A: \(\dfrac{2}{2} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 1}}{5}\) nên hai đường thẳng song song.

Đáp án B: \(\dfrac{2}{2} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 1}}{{ - 5}}\) nên hai đường thẳng song song.

Đáp án C: \(\dfrac{{ - 2}}{2} = \dfrac{1}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{{ - 1}}\) nên hai đường thẳng song song.

Đáp án D: \(\dfrac{2}{2} \ne \dfrac{{ - 1}}{1}\) nên đường thẳng ở đáp án D không song song với \(d\).

Điểm \(M \in d\) nên tọa độ của $M$  phải thỏa mãn phương trình của $d.$

Gọi \(M(2 + 2t;3 + t) \in d\).

Ta có:$\overrightarrow {AM}  = (2 + 2t;2 + t)$.

Theo giả thiết: \(\overrightarrow {\left| {AM} \right|}  = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{(2 + 2t)}^2} + {{(2 + t)}^2}}  = 5\)\( \Leftrightarrow {(2 + 2t)^2} + {(2 + t)^2} = 25\)

\( \Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{{ - 17}}{5}\end{array} \right.\).

Vậy có $2$  điểm $M$  thỏa ycbt \({M_1}(4;4)\) và \({M_2}(\dfrac{{ - 24}}{5};\dfrac{{ - 2}}{5})\).

+) Nếu \(m = 0\) thì \({d_1}:y = 1,{d_2}:x = 2\) cắt nhau tại \(\left( {2;1} \right)\).

+) Nếu \(m \ne 0\) thì \({d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{m} \ne \dfrac{{m + 1}}{2} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{m}\\\dfrac{1}{m} \ne \dfrac{{m + 1}}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\1.2 \ne m\left( {m + 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 1\\{m^2} + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 1\\m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m =  - 1\end{array}\)

Ta có: \(\left( {{\Delta _1}} \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {11; - 12} \right)\); \(\left( {{\Delta _2}} \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {12;11} \right)\).

Xét \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 11.12 - 12.11 = 0\) \( \Rightarrow \left( {{\Delta _1}} \right) \bot \left( {{\Delta _2}} \right)\)

+ Cạnh $AB$ đi qua hai điểm $A,B$ nên phương trình cạnh \(AB: x - 2y - 2 = 0\)

+ Cạnh $AC$ đi qua hai điểm $A,C$ nên phương trình cạnh \(AC: 2x + y - 4 = 0\)

+ Phương trình hai đường phân giác của góc $A$:

 \(\dfrac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt 5 }} =  \pm \dfrac{{2x + y - 4}}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 2 = 0\quad \left( d \right)}\\{3x - y - 6 = 0\quad \left( {d'} \right)}\end{array}} \right.\)

+ Xét đường phân giác \(\left( d \right):x + 3y - 2 = 0\)

Thế tọa độ điểm $B$  vào vế trái của \(d\): \({t_1} = 4 + 3.1 - 2 = 5 > 0\)

Thế tạo độ điểm $C$  vào vế trái của \(d\): \({t_2} = 1 + 3.2 - 2 = 5 > 0\)

Vì \({t_1}.{t_2} > 0\) nên $B$  và $C$  nằm cùng phía đối với \(d \Rightarrow d\) là đường phân giác ngoài

Vậy đường phân giác trong của góc $A$  là: \(d':3x - y - 6 = 0\)

\(\left( {{\Delta _1}} \right)\) có \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{m^2} + 1; - m} \right)\); \(\left( {{\Delta _2}} \right)\) có \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 3; - 4m} \right)\)

 \(\left( {{\Delta _1}} \right) \bot \left( {{\Delta _2}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}}  \bot \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow  - 3\left( {{m^2} + 1} \right) + 4{m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} = 3 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 3 \)

Ta thế tọa độ \(M\left( {0;{\rm{ }}1} \right)\) và \(P\left( {0;{\rm{ 2}}} \right)\) vào đường thẳng:

\(\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0\) nên loại A.

Ta thế tọa độ \(N\left( {1;{\rm{ 1}}} \right)\) và \(P\left( {0;{\rm{ 2}}} \right)\) vào đường thẳng:

\(\left( {1 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0\) nên loại B.

Ta thế tọa độ \(M\left( {0;{\rm{ }}1} \right)\) và \(Q\left( {2;{\rm{ }} - 1} \right)\) vào đường thẳng:

\(\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {2 - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right) > 0\) nên chọn C.

Ta có: \({\Delta _1} \equiv {\Delta _1} \Leftrightarrow \dfrac{{2m - 1}}{3} = \dfrac{{{m^2}}}{4} = \dfrac{1}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2m - 1}}{3} =  - 1\\\dfrac{{{m^2}}}{4} =  - 1\left( {VN} \right)\end{array} \right.\)

Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn.

Ta có: \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)\) là một VTPT.

Vì \(d//\Delta  \Rightarrow \overrightarrow n \) cũng là VTPT của d.

\( \Rightarrow \) Phương trình d: \(3\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 6 = 0.\)  

Phương trình đường phân giác góc tạo bởi ${d_1},{d_2}$ là:

$\dfrac{{\left| {x - 7y + 17} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {x + y - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 6y - 21 = 0{\rm{    (}}{\Delta _1}{\rm{)}}\\3x - y - 4 = 0{\rm{     (}}{\Delta _2}{\rm{)}}\end{array} \right.$

Đường thẳng cần tìm đi qua $M\left( {0;1} \right)$ và vuông góc  với ${\Delta _1},{\Delta _2}$

+ Gọi \({d_3}\) là đường thẳng vuông góc với \({\Delta _1}\) thì \({d_3}\) có dạng: \(3x - y + c = 0\)

\({d_3}\) đi qua điểm \(M\left( {0;1} \right)\) nên \(3.0 - 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1\) hay \(3x - y + 1 = 0\)

+ Gọi \({d_4}\) là đường thẳng vuông góc với \({\Delta _2}\) thì \({d_4}\) có dạng: \(x + 3y + c = 0\)

\({d_4}\) đi qua điểm \(M\left( {0;1} \right)\) nên \(0 + 3.1 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 3\) hay \(x + 3y - 3 = 0\)

KL: $x + 3y - 3 = 0$ và $3x - y + 1 = 0$

Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t - 5\end{array} \right.\)

Điểm  $M \in \Delta  \Rightarrow M\left( {t;3t-5} \right)$

\(\overrightarrow {AB} \left( { - 3;4} \right);\overrightarrow {CD} \left( {4;1} \right)\)

Phương trình đường thẳng $AB:4x + 3y - 4 = 0$

Phương trình đường thẳng $CD:x - 4y + 17 = 0$

 ${S_{MAB}} = {S_{MCD}} \Leftrightarrow d(M,AB).AB = d(M,CD).CD$

\(\dfrac{{\left| {4t + 3(3t - 5) - 4} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}.AB = \dfrac{{\left| {t - 4(3t - 5) + 17} \right|}}{{\sqrt {1 + {4^2}} }}.CD\)\( \Rightarrow \dfrac{{\left| {13t - 19} \right|}}{5}.\sqrt {{4^2} + {3^2}}  = \dfrac{{\left| { - 11t + 37} \right|}}{{\sqrt {17} }}.\sqrt {1 + {4^2}} \)

 $ \Leftrightarrow t =  - 9 \vee t = \dfrac{7}{3}$  $ \Rightarrow M( - 9; - 32),M\left( {\dfrac{7}{3};2} \right)$

$I\left( {6;2} \right);M\left( {1;5} \right)$

 $\Delta :x + y-5 = 0,E \in \Delta  \Rightarrow E\left( {m;5-m} \right);$

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\)

$I$  trung điểm  $NE$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} - {x_E} = 12 - m\\{y_N} = 2{y_I} - {y_E} = 4 - 5 + m = m - 1\end{array} \right.$ $ \Rightarrow N\left( {12-m;m-1} \right)$

$\overrightarrow {MN}  = \left( {11-m;m-6} \right);$             $\overrightarrow {IE}  = \left( {m - 6;5-m-2} \right) = \left( {m-6;3-m} \right)$

$\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {IE}  = 0$$ \Leftrightarrow \left( {11-m} \right)\left( {m-6} \right) + \left( {m-6} \right)\left( {3-m} \right) = 0$

 $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m-6 = 0\\14 - 2m = 0\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = 7\end{array} \right.\)

 + $m = 6 \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {5;0} \right)$ nên phương trình $AB$  là $y = 5$

+ $m = 7 \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {4;1} \right)$ nên phương trình $AB$ là $x-4y + 19 = 0$