Elip

Sách cánh diều

Đổi lựa chọn

Câu 1 Trắc nghiệm

Cho elip $(E)$ có phương trình chính tắc là \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Gọi \(2c\) là tiêu cự của $(E).$ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Theo lý thuyết phương trình chính tắc của elip có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

Câu 2 Trắc nghiệm

Cho elip (E) có tiêu cự là \(2c\), độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là \(2a\)  và \(2b\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Vì \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) và \(a,b,c > 0\) nên ta có  \({a^2} > {c^2} \Leftrightarrow a > c\). Hiển nhiên \(b < a\)

Câu 3 Trắc nghiệm

Cho elip (E) có hai tiêu điểm là \({F_1},{F_2}\)  và có độ dài trục lớn là \(2a\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Elip (E) có hai tiêu điểm là \({F_1},{F_2}\) ta có \(2c = {F_1}{F_2}\) .

Vì \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) và \(a,b,c > 0\) nên ta có  \({a^2} > {c^2} \Leftrightarrow a > c\). Do đó \(2a > {F_1}{F_2}\)

Câu 4 Trắc nghiệm

Cho elip \((E):{x^2} + 4{y^2} - 40 = 0\). Chu vi hình chữ nhật cơ sở là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có: \((E):{x^2} + 4{y^2} - 40 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{40}} + \dfrac{{{y^2}}}{{10}} = 1\). Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\sqrt {10} \\b = \sqrt {10} \end{array} \right.\)

Chu vi hình chữ nhật cơ sở là: \(2\left( {2a + 2b} \right) = 2\left( {4\sqrt {10}  + 2\sqrt {10} } \right) = 12\sqrt {10} \)

Câu 5 Trắc nghiệm

Elip $(E)$ có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tâm sai của $(E)$ là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Elip có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên ta có \(b = c\)

Mặt khác ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) , suy ra \({a^2} = 2{c^2}\) hay \(a = \sqrt 2 c\)

Tâm sai của elip là: \(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{c}{{\sqrt 2 c}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Câu 6 Trắc nghiệm

Cho elip \((E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) và cho các mệnh đề:

1. \((E)\) có các tiêu điểm \({F_1}(0; - 4)\) và \({F_2}(0;4)\)

2. \((E)\) có tỉ số \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}\)

3. \((E)\) có đỉnh \({A_1}( - 5;0)\)

4. \((E)\) có độ dài trục nhỏ bằng $3.$

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề trên:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Từ phương trình elip \((E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\\c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 4\end{array} \right.\)

Suy ra ta có:

1. \((E)\) có các tiêu điểm \({F_1}( - 4;0)\) và \({F_2}(4;0)\) nên (1) sai.

2. \((E)\) có tỉ số \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}\) nên (2) đúng.

3. \((E)\) có đỉnh \({A_1}( - 5;0)\) nên (3) đúng.

4. \((E)\) có độ dài trục nhỏ bằng \(2b = 6\) nên (4) sai.

Vậy các mệnh đề sai là (1) và (4).

Câu 7 Trắc nghiệm

Elip có độ dài trục lớn là $12,$ độ dài trục nhỏ là $8$ có phương trình chính tắc là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Độ dài trục lớn là $12,$ suy ra \(2a = 12\)  hay \(a = 6\)

Độ dài trục nhỏ là $8,$ suy ra \(2b = 8\)  hay \(b = 4\)

Vậy elip cần tìm là \(\dfrac{{{x^2}}}{{36}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

Câu 8 Trắc nghiệm

Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là $12,$ tiêu cự là $10$ là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Độ dài trục lớn là $12,$ suy ra \(2a = 12\)  hay \(a = 6\)

Tiêu cự là $10,$ suy ra \(2c = 10\)  hay \(c = 5\)

Mặt khác, ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\), suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 36 - 25 = 11\)

Câu 9 Trắc nghiệm

Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là $20,$ tâm sai là \(e = \dfrac{3}{5}\)  là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Độ dài trục lớn là $20,$ suy ra \(2a = 20\)  hay \(a = 10\)

Tâm sai \(e = \dfrac{3}{5}\), suy ra \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}\)  suy ra \(c = 6\)

Mặt khác, ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\), suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 100 - 36 = 64\)

Câu 10 Trắc nghiệm

Phương trình chính tắc của elip có tiêu cự là $6,$ tâm sai là \(e = \dfrac{3}{5}\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Tiêu cự elip bằng 6, suy ra \(2c = 6\)  hay \(c = 3\)

Tâm sai \(e = \dfrac{3}{5}\) , suy ra \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}\)  suy ra \(a = 5\)

Mặt khác, ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) , suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 9 = 16\)

Câu 11 Trắc nghiệm

Phương trình chính tắc của elip có  hai đỉnh là \(A(5;0)\)  và \(B(0;3)\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Elip có  hai đỉnh là \(A(5;0)\) và \(B(0;3)\) suy ra \(a = 5\) và \(b = 3\). Do đó, phương trình chính tắc của elip là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Câu 12 Trắc nghiệm

Cho elip  chính tắc $(E)$ có tiêu điểm \({F_1}(4;0)\) và một đỉnh là \(A(5;0).\) Phương trình chính tắc của elip $(E)$ là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Elip có tiêu điểm \({F_1}(4;0)\)suy ra \(c = 4\), elip có một đỉnh là  \(A(5;0)\) suy ra \(a = 5\)

Mặt khác ta có \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 16 = 9\)

Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Câu 13 Trắc nghiệm

Phương trình chính tắc của elip có  hai tiêu điểm là \({F_1}( - 1;0),{F_2}(1;0)\)  và tâm sai \(e = \dfrac{1}{5}\)  là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Elip có  hai tiêu điểm là \({F_1}( - 1;0),{F_2}(1;0)\) suy ra \(c = 1\)

 Elip có tâm sai \(e = \dfrac{1}{5}\) suy ra \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow a = 5\)

Mặt khác ta có \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 1 = 24\)

Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{24}} = 1\)

Câu 14 Trắc nghiệm

Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là \(B(0; - 2)\), tiêu cự là \(2\sqrt 5 \) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Elip có một đỉnh là \(B(0; - 2)\) suy ra \(b = 2\).

Elip có tiêu cự là  \(2\sqrt 5 \) suy ra \(c = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow c = \sqrt 5 \)

Mặt khác ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 4 + 5 = 9\)

Vậy elip có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\)

Câu 15 Trắc nghiệm

Phương trình chính tắc của elip có một đỉnh là \(A(0; - 4)\), tâm sai \(e = \dfrac{3}{5}\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Elip có một đỉnh là \(A(0; - 4)\)suy ra \(b = 4\).

Tâm sai  \(e = \dfrac{3}{5}\) suy ra ta có \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}\). Vì \(a,c > 0\) nên ta có  \(\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{9}{{25}} \Leftrightarrow 25{c^2} - 9{a^2} = 0\)

Mặt khác ta có \({a^2} - {c^2} = {b^2} = 16\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 25{c^2} = 0\\{a^2} - {c^2} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{c^2} = 9\end{array} \right.\)

Vậy phương trình của elip là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

Câu 16 Trắc nghiệm

Phương trình chính tắc của elip có đỉnh là \(A(2;0)\)  và đi qua \(M( - 1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2})\)  là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Elip có đỉnh là \(A(2;0)\) suy ra \(a = 2\). Phương trình elip cần tìm có dạng  \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Vì elip qua \(M( - 1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2})\) nên ta có \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 1\)

Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Câu 17 Trắc nghiệm

Phương trình chính tắc của elip có  đi qua \(M(1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }})\), tiêu cự là $4$ là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Phương trình elip cần tìm có dạng  \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Elip có tiêu cự là $4$ suy ra \(2c = 4 \Leftrightarrow c = 2\). Mặt khác ta có: \({a^2} - {b^2} = {c^2} = 4\)

Vì elip qua \(M\left( {1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 4\\\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1\end{array} \right. \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\dfrac{1}{{{b^2} + 4}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\dfrac{{5{b^2} + 4\left( {{b^2} + 4} \right)}}{{5{b^2}\left( {{b^2} + 4} \right)}} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\9{b^2} + 16 = 5{b^4} + 20{b^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\5{b^4} + 11{b^2} - 16 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\left[ \begin{array}{l}{b^2} = 1\\{b^2} = \dfrac{{ - 16}}{5}\left( L \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 5\\{b^2} = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{5} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Câu 18 Trắc nghiệm

Phương trình chính tắc của elip có đi qua hai điểm \(M(2\sqrt 2 ;\dfrac{1}{3})\)  và \(N(2;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3})\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Phương trình elip cần tìm có dạng  \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Vì elip qua \(M\left( {2\sqrt 2 ;\dfrac{1}{3}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{8}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{9{b^2}}} = 1\)

Vì elip qua \(N\left( {2;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{5}{{9{b^2}}} = 1\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{8}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{9{b^2}}} = 1\\\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{5}{{9{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1\end{array} \right.\)

Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Câu 19 Trắc nghiệm

Phương trình chính tắc của elip có diện tích hình chữ nhật cơ sở là $8$ và \(e = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Phương trình elip cần tìm có dạng  \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Diện tích hình chữ nhật cơ sở  bằng  \(4ab\)

Theo bài ra ta có \(4ab = 8 \Leftrightarrow ab = 2 \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = 4\)

Elip có \(e = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}\) suy ra \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}\). Vì \(c,a > 0\) nên ta có \(\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{12}}{{16}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow 3{a^2} - 4{c^2} = 0\)

 Mặt khác ta có: \({a^2} - {b^2} = {c^2}\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\3{a^2} - 4{c^2} = 0\\{a^2} - {b^2} = {c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - {b^2} = \dfrac{3}{4}{a^2}\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - 4{b^2} = 0\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\\{c^2} = 3\end{array} \right.\)

Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Câu 20 Trắc nghiệm

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\). Biết rằng, điểm M là điểm có tung độ \({y_M}\) dương thuộc elip \(\left( E \right)\) sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(M{F_1}{F_2}\) bằng \(\dfrac{4}{3}\). Khẳng định nào sau đây đúng? 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {25 - 9}  = 8\)

Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10 \Rightarrow p = \dfrac{{M{F_1} + M{F_2} + {F_1}{F_2}}}{2} = 9\)

Diện tích tam giác \(M{F_1}{F_2}\) là: \({S_{M{F_1}{F_2}}} = \dfrac{1}{2}{F_1}{F_2}.d\left( {M;Ox} \right) = \dfrac{1}{2}.8.{y_M} = 4\left| {{y_M}} \right| = 4{y_M}\,\,\,\left( {do\,\,{y_M} > 0} \right)\)

Lại có: \({S_{M{F_1}{F_2}}} = p.r \Leftrightarrow 4{y_M} = 9.\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {y_M} = 3 \in {y_M} \in \left( {\sqrt 8 ;5} \right)\)