Mệnh đề toán học phần 2

Ta thấy câu 1), 2) và 4) là các mệnh đề vì ta có thể xét được tính đúng sai của chúng.

Câu 3) không khải mệnh đề vì ta chưa xét được tính đúng sai của nó, chỉ khi cho $x$ một giá trị nào đó thì ta mới nhận được một mệnh đề.

Vậy có $3$ mệnh đề.

Mệnh đề “\(\forall x \in X\),\(x\) cao trên \(180{\rm{ }}cm\)” khẳng định: “Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên \(180{\rm{ }}cm\)”.

Mệnh đề \(''3 + 6 \le 8''\) sai vì \(3 + 6 = 9 > 8\).

Mệnh đề \(''\sqrt {15}  > 4 \Rightarrow 3 \ge \sqrt 3 ''\) đúng vì mệnh đề \(\sqrt {15}  > 4\) sai nên \(''\sqrt {15}  > 4 \Rightarrow 3 \ge \sqrt 3 ''\) luôn đúng.

Mệnh đề \(''\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0''\) sai vì nếu \(x = 0\) thì \({0^2} > 0\) là sai.

Mệnh đề “Tam giác $ABC$  vuông tại  \(A \Leftrightarrow A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\)” sai vì “Tam giác $ABC$  vuông tại  \(A \Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”.

Với \(n = 48\) thì \(n \vdots 12\) nên A đúng.

Các đáp án còn lại đề không chia hết cho \(12\) nên loại.

Xét đáp án D. Với \(k \in \mathbb{N}\), ta xét các trường hợp của \(n\):

+ Khi \(n = 4k \Rightarrow {n^2} + 1 = 16{k^2} + 1\) không chia hết cho \(4.\)

+ Khi \(n = 4k\, + 1 \Rightarrow {n^2} + 1 = 16{k^2} + 8k + 2\) không chia hết cho \(4.\)

+ Khi \(n = 4k\, + 2 \Rightarrow {n^2} + 1 = 16{k^2} + 16k + 5\) không chia hết cho \(4.\)

+ Khi \(n = 4k\, + 3 \Rightarrow {n^2} + 1 = 16{k^2} + 24k + 10\) không chia hết cho \(4.\)

\( \Rightarrow \forall n \in \mathbb{N},\;{n^2} + 1\) không chia hết cho \(4.\)

Ngoài ra các mệnh đề ở mỗi đáp án A, B, C đều đúng. Thật vậy,

Xét \(x = 2\in \mathbb{Z} \Rightarrow 2{x^2} - 8=0\) => A đúng

Xét \(n = 3 \in \mathbb{N} \Rightarrow {n^2} + 11n + 2 = 44 \) chia hết cho 11 => B đúng

Hơn nữa 5 là số nguyên tố và 5 chia hết cho 5 nên C đúng

Các mệnh đề A, B, C đều đúng.

Đáp án D sai vì nếu \(\left| x \right| \le 5\) thì $x$ có thể bằng $-4$, mà $-4 \notin A$. Do đó $x\notin A$.

Đáp án A đúng vì với \(x = \dfrac{1}{2} \in \mathbb{R},{x^2} = \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2} = x.\)

Đáp án B sai vì nếu \(x = 0\) thì \({0^2} = 0\).

Đáp án C sai vì \(\left| x \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 1\end{array} \right.\).

Đáp án D sai vì \({x^2} \ge x \Leftrightarrow {x^2} - x \ge 0\) \( \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 0\end{array} \right.\).

Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(P:''\forall x \in \mathbb{R},2x - 9 = 0''\) là \(\overline P :''\exists x \in \mathbb{R},2x - 9 \ne 0''\).

Phủ định của mệnh đề “$\forall x \in R:{x^2} < x$” là “$\exists x \in R:{x^2} \ge x$”.

Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in R,{x^2} + x \ge  - \dfrac{1}{4}\)” là “\(\exists x \in R,{x^2} + x <  - \dfrac{1}{4}\)”.

Đây là mệnh đề sai vì với mọi \(x \in R\) ta có : \({x^2} + x + \dfrac{1}{4} = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\).

Ta có: \({x^2} > 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x <  - 2\end{array} \right.\)

Đáp án A sai vì nếu \(x =  - 1\) thì \({\left( { - 1} \right)^2} > 4\) nên mệnh đề sai.

Đáp án B đúng.

Đáp án C sai vì chưa thể suy ra chắc chắn $x>2$ mà vẫn có thể xảy ra trường hợp \(x <  - 2\)

Đáp án D sai vì nếu \(x =  - 3\) thì mệnh đề sai.

Đáp án A : Nếu tứ giác là hình thang cân thì nó có hai đường chéo bằng nhau.

Đây là mệnh đề đúng.

Đáp án B : Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho \(6\) và \(4\) thì nó chia hết cho \(24\).

Đây là mệnh đề sai, chẳng hạn số \(n = 12\).

Đáp án C : Nếu \(n\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\) thì \({n^2} + 20\) là một hợp số.

Mệnh đề đúng vì nếu \(n\) nguyên tố lớn hơn \(3\) thì \(n\) chia cho \(3\) dư \(1\) hoặc \(2\).

+ TH1 : \(n = 3k + 1 \Rightarrow {n^2} + 20 = {\left( {3k + 1} \right)^2} + 20 \) \(= 9{k^2} + 6k + 21 \vdots 3\)

+ TH2 : \(n = 3k + 2 \Rightarrow {n^2} + 20 = {\left( {3k + 2} \right)^2} + 20 \) \(= 9{k^2} + 12k + 24 \vdots 3\)

Do đó ta luôn có \({n^2} + 20\) là hợp số.

Đáp án D : Nếu \(n\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\) thì \({n^2} - 1\) chia hết cho \(24\).

Mệnh đề đúng vì nếu \(n\) nguyên tố lớn hơn \(3\) thì \(n\) chia cho \(3\) dư \(1\) hoặc \(2\).

+ TH1 : \(n = 3k + 1 \Rightarrow {n^2} - 1 = {\left( {3k + 1} \right)^2} - 1 \) \(= 9{k^2} + 6k = 3k\left( {3k + 2} \right) \vdots 3\)

+ TH2 : \(n = 3k + 2 \Rightarrow {n^2} - 1 = {\left( {3k + 2} \right)^2} - 1 \) \(= 9{k^2} + 12k + 3 = 3\left( {3{k^2} + 4k + 1} \right) \vdots 3\)

Do đó ta luôn có \({n^2} - 1 \vdots 3\)

Ngoài ra \(n\) nguyên tố lớn hơn \(3\) nên \(n\) lẻ, do đó :

\(n = 2m + 1 \Rightarrow {n^2} - 1 = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 1 \) \(= 4{m^2} + 4m = 4m\left( {m + 1} \right) \vdots \left( {4.2} \right) = 8\)

Vậy \({n^2} - 1 \vdots \left( {3.8} \right) = 24\)

Vậy các mệnh đề A, C, D đều đúng.

Mệnh đề "\(\exists x \in \mathbb{R}:{x^2} = 2\)" được phát biểu là: Tồn tại số thực \(x\) để cho \({x^2} = 2\), hay “Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng $2$”.

Mệnh đề đúng \(P \Leftrightarrow Q\) có thể được phát biểu theo các ngôn ngữ khi và chỉ khi, nếu và chỉ nếu, điều kiện cần và đủ nên đáp án C là sai.

Điều kiện để \(P \Leftrightarrow Q\) đúng là \(P,Q\) cùng đúng hoặc cùng sai nên \(\overline P ,\overline Q \)  cùng sai hoặc cùng đúng.

Mệnh đề đúng \(P \Rightarrow Q\) có thể được phát biểu là: nếu \(P\) thì \(Q\), $P$  kéo theo $Q$, $P$ là điều kiện đủ để có $Q$.

Mệnh đề “Nếu một tứ giác là hình thang cân thì tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau” có thể được phát biểu là:

+) “Điều kiện cần để tứ giác là hình thang cân là tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau” nên A đúng.

+) “Điều kiện đủ để tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là tứ giác đó là hình thang cân” nên B đúng, C sai.

Với $a=0$ thì \(a + 1 + \dfrac{1}{{a + 1}} =2\le 2\) nên mệnh đề F đúng.

Mệnh đề phủ định là \(\overline F :\) " \( \forall a \in \mathbb{R}\): \(a + 1 + \dfrac{1}{{a + 1}} > 2\)"