Hoán vị. Chỉnh hợp

Số các hoán vị khác nhau của $n$ phần tử là ${P_n} = n!$

Số các hoán vị khác nhau của $10$ phần tử là ${P_{10}} = 10!$.

Gọi số thỏa mãn bài toán là: $\overline {abcde}$.

Mỗi số có $5$ chữ số thỏa mãn bài toán là một hoán vị của $5$ chữ số trên.

Số các số là $5! = 120$ (số).

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là:

$A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)$

Số chỉnh hợp chập $5$ của $9$ phần tử là $A_9^5$.

Mỗi số thỏa mãn bài toán và một chỉnh hợp chập $4$ của $6$ phần tử.

Số các số là: $A_6^4 = 360$ số.

Lập số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau sao cho không có mặt chữ số $7$, ta bỏ chữ số $7$ ra khổi tập hợp $A$, khi đó ta được tập hợp $B = \left\{ {1;2;4;6;9} \right\}$ và đưa bài toán trở thành có thể lập được từ tập $B$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau.

Số các số có $4$ chữ số khác nhau lập được từ tập $B$ là chỉnh hợp chập $4$ của $5$. Vậy có $A_5^4 = 120$ số.

Số nhỏ hơn $1000$ là số có nhiều nhất $3$ chữ số.

TH1: Ta đưa về bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?

Gọi số cần tìm có dạng $\overline {abc} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c} \right)$ suy ra có $4$ cách chọn $a$, có $4$ cách chọn $b$, có $3$ cách chọn $c$ .

Vậy có $4.4.3 = 48$  số.

TH2: Số có hai chữ số khác nhau lập từ các số $0,1,2,3,4$? 

Có $4.4 = 16$ số.

TH3: Số có $1$  chữ số lập từ các số $0,1,2,3,4$?

Có $5$ số.

Vậy có có tất cả $69$ số.

Số cách chọn ra $3$  người để bầu cho $3$ vị trí khác nhau là $A_8^3 = 336$ (cách).

Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của 5 học sinh và ngược lại.

Vậy số cách xếp là ${P_5} = 5! = 120$ (cách).

Số cách xếp hai học sinh lớp 10 ở hàng phía trước là $A_3^2$

Số cách xếp hai học sinh lớp 12 ở hàng phía sau là $A_3^2$

Còn 2 chỗ trống. Số cách xếp hai học sinh lớp 11 ở hai vị trí còn lại là $A_2^2$

Vậy tổng số cách xếp có thể là $A_3^2.A_3^2.A_2^2 = 72$

$=>n=72$

Bước 1: Xếp học sinh nam

Xếp 15 học sinh nam thành một hàng có $15!$ cách.

Bước 2: Xếp học sinh nữ

Xếp 15 học sinh nữ thành một hàng có $15!$ cách.

Bước 3: Tính số cách xếp

Hoán đổi vị trí 2 hàng có $2! = 2$ cách.

Vậy số cách xếp thỏa mãn là $2.{\left( {15!} \right)^2}$.

Bước 1: Tính số cách sắp xếp 5 sách toán đứng cạnh nhau và 5 sách văn đứng cạnh nhau.

Ta có số cách sắp xếp 5 cuốn sách toán khác nhau là $5!$

Số cách sắp xếp 5 cuốn sách văn khác nhau là $5!$

Bước 2: Sắp xếp 10 cuốn thành 1 hàng ngang.

Có 2 cách để sắp xếp 5 cuốn sách toán khác nhau và 5 cuốn sách văn khác nhau thành 1 hàng ngang.

Do đó số cách xếp thỏa mãn bài toán là $2.5!.5!=28800$

Bước 1: 

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là $\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)$.

Bước 2: $d = 3$

TH1: $d = 3$.

Số cách chọn $a$ là 4 cách.

Số cách chọn $b,\,\,c$ là: $A_4^2 = 12$ cách.

$\Rightarrow$ Có $4.12.1 = 48$ số.

Bước 3: $d \ne 3$

TH2: $d \ne 3 \Rightarrow d \in \left\{ {1;5} \right\} \Rightarrow$ Có 2 cách chọn $d$.

2a) Nếu $a = 3 \Rightarrow$ Có 1 cách chọn $a$.

       Số cách chọn $b,\,\,c$ là $A_4^2 = 12$ cách.

$\Rightarrow$ Có $2.1.12 = 24$ số.

2b) Nếu $a \ne 3 \Rightarrow$ Có 3 cách chọn $a$.

Vì một trong hai số b và c phải có 1 số bằng 3 nên:

      Số cách chọn $b,\,\,c$ là: 2.3=6 cách.

$\Rightarrow$ Có $2.3.6 = 36$ số.

Bước 4: Sử dụng quy tắc cộng tính tổng các số tìm được

Vậy có tất cả $48 + 24 + 36 = 108$ số.

Số cách chọn ra hai bạn học sinh làm tổ trưởng và tổ phó từ 10 học sinh là $A_{10}^{2}=90$