Hoán vị. Chỉnh hợp

Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là \({P_n} = n!\)

Số các hoán vị khác nhau của \(10\) phần tử là \({P_{10}} = 10!\).

Gọi số thỏa mãn bài toán là: \(\overline {abcde} \).

Mỗi số có \(5\) chữ số thỏa mãn bài toán là một hoán vị của \(5\) chữ số trên.

Số các số là \(5! = 120\) (số).

Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

$A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)$

Số chỉnh hợp chập \(5\) của \(9\) phần tử là \(A_9^5\).

Mỗi số thỏa mãn bài toán và một chỉnh hợp chập \(4\) của \(6\) phần tử.

Số các số là: \(A_6^4 = 360\) số.

Lập số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau sao cho không có mặt chữ số $7$, ta bỏ chữ số $7$ ra khổi tập hợp $A$, khi đó ta được tập hợp $B = \left\{ {1;2;4;6;9} \right\}$ và đưa bài toán trở thành có thể lập được từ tập $B$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau.

Số các số có $4$ chữ số khác nhau lập được từ tập $B$ là chỉnh hợp chập $4$ của $5$. Vậy có \(A_5^4 = 120\) số.

Số nhỏ hơn $1000$ là số có nhiều nhất $3$ chữ số.

TH1: Ta đưa về bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abc} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c} \right)\) suy ra có $4$ cách chọn $a$, có $4$ cách chọn $b$, có $3$ cách chọn $c$ .

Vậy có $4.4.3 = 48$  số.

TH2: Số có hai chữ số khác nhau lập từ các số $0,1,2,3,4$? 

Có $4.4 = 16$ số.

TH3: Số có $1$  chữ số lập từ các số $0,1,2,3,4$?

Có $5$ số.

Vậy có có tất cả $69$ số.

Số cách chọn ra $3$  người để bầu cho $3$ vị trí khác nhau là \(A_8^3 = 336\) (cách).

Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của 5 học sinh và ngược lại.

Vậy số cách xếp là \({P_5} = 5! = 120\) (cách).

Số cách xếp hai học sinh lớp 10 ở hàng phía trước là \(A_3^2\)

Số cách xếp hai học sinh lớp 12 ở hàng phía sau là \(A_3^2\)

Còn 2 chỗ trống. Số cách xếp hai học sinh lớp 11 ở hai vị trí còn lại là \(A_2^2\)

Vậy tổng số cách xếp có thể là \(A_3^2.A_3^2.A_2^2 = 72\)

$=>n=72$

Bước 1: Xếp học sinh nam

Xếp 15 học sinh nam thành một hàng có \(15!\) cách.

Bước 2: Xếp học sinh nữ

Xếp 15 học sinh nữ thành một hàng có \(15!\) cách.

Bước 3: Tính số cách xếp

Hoán đổi vị trí 2 hàng có \(2! = 2\) cách.

Vậy số cách xếp thỏa mãn là \(2.{\left( {15!} \right)^2}\).

Bước 1: Tính số cách sắp xếp 5 sách toán đứng cạnh nhau và 5 sách văn đứng cạnh nhau.

Ta có số cách sắp xếp 5 cuốn sách toán khác nhau là $5!$

Số cách sắp xếp 5 cuốn sách văn khác nhau là $5!$

Bước 2: Sắp xếp 10 cuốn thành 1 hàng ngang.

Có 2 cách để sắp xếp 5 cuốn sách toán khác nhau và 5 cuốn sách văn khác nhau thành 1 hàng ngang.

Do đó số cách xếp thỏa mãn bài toán là $2.5!.5!=28800$

Bước 1: 

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Bước 2: \(d = 3\)

TH1: \(d = 3\).

Số cách chọn \(a\) là 4 cách.

Số cách chọn \(b,\,\,c\) là: \(A_4^2 = 12\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(4.12.1 = 48\) số.

Bước 3: $d \ne 3$

TH2: \(d \ne 3 \Rightarrow d \in \left\{ {1;5} \right\} \Rightarrow \) Có 2 cách chọn \(d\).

2a) Nếu \(a = 3 \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \(a\).

       Số cách chọn \(b,\,\,c\) là \(A_4^2 = 12\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(2.1.12 = 24\) số.

2b) Nếu \(a \ne 3 \Rightarrow \) Có 3 cách chọn \(a\).

Vì một trong hai số b và c phải có 1 số bằng 3 nên:

      Số cách chọn \(b,\,\,c\) là: 2.3=6 cách.

\( \Rightarrow \) Có \(2.3.6 = 36\) số.

Bước 4: Sử dụng quy tắc cộng tính tổng các số tìm được

Vậy có tất cả \(48 + 24 + 36 = 108\) số.

Số cách chọn ra hai bạn học sinh làm tổ trưởng và tổ phó từ 10 học sinh là $A_{10}^{2}=90$