Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 2z = 3}\\{y + z = 7}\\{2z = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 2z = 3}\\{y + 2 = 7}\\{z = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5 - 2.2 = 3}\\{y = 5}\\{z = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 5}\\{z = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {2;5;2} \right)\).

=>Tổng x+y+z là: 9

+ Hệ phương trình (1) và (3) là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Hệ phương trình (2) có phương trình: \(2{x^2} - 2y - z = 0\) không là phương trình bậc nhất ba ẩn

=>Hệ phương trình (2) không là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.

Hệ phương trình (4) có phương trình: \(\dfrac{1}{x} - 6y - 2z = 3\) không là phương trình bậc nhất ba ẩn

=>Hệ phương trình (4) không là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.

+ Bộ ba số (–1; 0; 1) có là nghiệm của hệ (1).

Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:

2 . (–1) – 0 + 1 = –1;

–(–1) + 2 . 0 = 1;

3 . 0 – 2 . 1 = –2.

+ Bộ ba số (–1; 0; 1) không là nghiệm của hệ (2).

Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 4 . (–1) – 2 . 0 + 1 = 2, đây là đẳng thức sai.

+ Bộ ba số (–1; 0; 1) không là nghiệm của hệ (3).

Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 3 . (–1) – 2 . 0 + 1 = 2, đây là đẳng thức sai.

Gọi số tiền Hà, Lan, Minh phải trả lần lượt là x, y, z (nghìn đồng).

Theo đề bài, ta có:

– Số tiền tổng cộng là 820 nghìn đồng, suy ra x + y + z = 820 (1).

– Số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là 5 nghìn đồng, suy ra \(\dfrac{1}{2}x - y = 5\) hay x – 2y = 10 (2).

– Số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là 210 nghìn đồng, suy ra z – y = 210 hay –y + z = 210 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + x = 820}\\{x - 2y = 10}\\{ - y + z = 210}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 310, y = 150, z = 360.

Vậy Lan phải trả Hà 150 nghìn đồng, Minh phải trả Hà 360 nghìn đồng.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y + z = 3}\\{ - y + z = 2}\\{y + 2z = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y + z = 3}\\{y = z - 2}\\{3z = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2.( - 1) + 1 = 3}\\{y = 1 - 2}\\{z = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = - 1}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (0; –1; 1).

Giả sử mỗi nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm lần lượt x, y, z (%) trong các loài có nguy cơ tuyệt chủng.

Theo đề bài, ta có:

– Ba nhóm động vật chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng, suy ra x + y + z = 55 (1).

– Nhóm chim chiếm nhiều hơn 0,7% so với nhóm cá, suy ra y – z = 0,7 (2).

– Nhóm cá chiếm nhiều hơn 1,5% so với động vật có vú, suy ra z – x = 1,5 hay –x + z = 1,5 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 55}\\{y - z = 0,7}\\{ - x + z = 1,5}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 17,1; y = 19,3; z = 18,6.

Vậy mỗi nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm lần lượt 17,1%; 19,3%; 18,6% trong các loài có nguy cơ tuyệt chủng.

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2y - 4z = 3}\\{4x + 6y - z = 17}\\{x + 2y = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2y - 4z = 3}\\{16x - 24y - 4z = - 68}\\{x + 2y = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2y - 4z = 3}\\{ - 13x - 26y = - 65}\\{x + 2y = 5}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2y - 4z = 3}\\{x + 2y = 5}\\{x + 2y = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2y - 4z = 3}\\{x + 2y = 5}\end{array}} \right.\end{array}\)

Từ phương trình thứ hai ta có x = –2y + 5

Thay vào phương trình thứ nhất ta được z = –2y + 3.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–2y + 5; y; –2y + 3).

Gọi lương hằng năm của quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải lần lượt là x, y, z (triệu đồng).

Theo đề bài, ta có:

– Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng, suy ra: x + y = 164 (1).

– Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và tài xế xe tải là 156 triệu đồng, suy ra:

x + z = 156 (2).

– Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải 8 triệu đồng, suy ra:

x – z = 8 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 164}\\{x + z = 156}\\{x - z = 8}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được: x = 82, y = 82, z = 74.

=>Lương hằng năm của quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải lần lượt là 82, 82, 74 triệu đồng.

Vậy tổng số tiền mà công ty phải trả cho các vị trí lần lượt là quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải là: 238 triệu đồng.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 1}\\{3x - y - z = 4}\\{x + 5y + 5z = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 1}\\{4x + 4z = - 1}\\{x + 5y + 5z = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 1}\\{4x + 4z = - 1}\\{ - 4y - 4z = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 1}\\{4x + 4z = - 1}\\{0y + 0z = 1}\end{array}} \right.\)

Vì phương trình thứ ba của hệ vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm.

Gọi giá của mỗi chiếc xe hãng X, Y, Z trong năm ngoái lần lượt là x, y, z (tỉ đồng).

Theo đề bài, ta có:

– Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ôtô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng, suy ra x + y + z =2,8 (1).

– Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng, suy ra:

108%x + 105%y + 112%z = 3,018 hay 108x + 105y + 112z = 301,8 (2).

– Trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X, suy ra

x – y = 0,2 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 2,8}\\{108x + 105y + 112z = 301,8}\\{x - y = 0,2}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 1,2; y = 1; z = 0,6.

Vậy giá của mỗi chiếc xe hãng X, Y, Z trong năm ngoái lần lượt là 1,2; 1 và 0,6 tỉ đồng.

(P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x = –2; x = 1

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = a{{\left( { - 2} \right)}^2} + b\left( { - 2} \right) + c}\\{0 = a{{.1}^2} + b.1 + c}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a - 2b + c = 0\,\,\left( 1 \right)}\\{a + b + c = 0\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

(P) đi qua điểm M(–1; 3)

\( \Rightarrow 3 = a{\left( {-1} \right)^2}\; + b\left( {-1} \right) + c\,\,\, \Rightarrow \;a-b + c = 3{\rm{ }}\left( 3 \right).\)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a - 2b + c = 0}\\{a + b + c = 0}\\{a - b + c = 3}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được \(a{\rm{ }} = \;\dfrac{{ - 3}}{2},{\rm{ }}b = \dfrac{{ - 3}}{2},{\rm{ }}c = 3.\)

Vậy phương trình của (P) là \(y = \; - \dfrac{3}{2}{x^2} - \dfrac{3}{2}x + 3.\)

Gọi số đo góc thứ nhất, thứ hai, thứ ba của tam giác lần lượt là x, y, z (độ).

Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180^o nên x + y + z = 180 (1)

Theo đề bài ta có: x + y = 2z (2) và x – z = 20 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 180}\\{x + y = 2z}\\{x - z = 20}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2z + z = 180}\\{x + y = 2z}\\{x - z = 20}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 60}\\{x + y = 60.2}\\{x - 60 = 20}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 60}\\{80 + y = 120}\\{x = 80}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 60}\\{y = 40}\\{x = 80}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy số đo ba góc của tam giác đã cho là \({80^0},{40^0},{60^0}.\)

Gọi số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là x, y, z (triệu đồng).

Theo đề bài ta có: x + y + z = 1000 (1)

Số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất bằng tổng số tiền đầu tư cho khoản thứ hai và thứ ba, do đó:

x = y + z hay x – y – z = 0 (2)

Lãi suất cho ba khoản đầu tư lần lượt là 6%, 8%, 15% và tổng số tiền lãi thu được là 84 triệu đồng nên:

 6%x + 8%y + 15%z = 84 hay 6x + 8y + 15z = 8400 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 1000}\\{x - y - z = 0}\\{6x + 8y + 15z = 8400}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 500, y = 300, z =200.

Vậy số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 500 triệu đồng, 300 triệu đồng và 200 triệu đồng.

Gọi giá bán mỗi áo sơ mi, mỗi quần âu và mỗi áo phông lần lượt là x, y, z (nghìn đồng).

Theo đề bài ta có:

Ngày thứ nhất bán được 22 áo sơ mi, 12 quần âu và 18 áo phông, doanh thu là 12 580 000 đồng nên 22x + 12y + 18z = 12580 (1)

Ngày thứ hai bán được 16 áo sơ mi, 10 quần âu và 20 áo phông, doanh thu là 10 800 000 đồng nên 16x + 10y + 20z = 10800 (2)

Ngày thứ ba bán được 24 áo sơ mi, 15 quần âu và 12 áo phông, doanh thu là 12 960 000 đồng nên 24x + 15y + 12z = 12960 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{22x + 12y + 18z = 12580}\\{16x + 10y + 20z = 10800}\\{24x + 15y + 12z = 12960}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 250, y =320, z =180.

Vậy giá bán mỗi áo sơ mi, mỗi quần âu và mỗi áo phông lần lượt là 250 nghìn đồng, 320 nghìn đồng, 180 nghìn đồng.