Tổ hợp

Số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $C_n^k$.

Số tổ hợp chập $6$ của $7$ phần tử là $C_7^6 = 7$.

Mỗi cách chọn ra $5$ bạn là một tổ hợp chập $5$ của $40$.

Do đó số cách chọn là $C_{40}^5$.

Bước 1: Xác định yếu tố cấu thành hình bình hành.

Cứ hai đường thẳng song song trong nhóm này và $2$ đường thẳng song song trong nhóm kia cắt nhau tạo thành một hình bình hành.

Bước 2: Tìm số hình bình hành.

Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm $4$ đường thẳng song song có $C_4^2 = 6$ cách.

Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm $5$ đường thẳng song song có $C_5^2 = 10$ cách.

Vậy có tất cả $6.10 = 60$ hình bình hành được tạo thành.

TH1: Chọn được $3$ bông hoa hồng vàng và $4$  bông hoa hồng đỏ.

Số cách chọn $3$  bông hồng vàng là $C_5^3 = 10$ cách.

Số cách chọn $4$ bông hồng đỏ là $C_4^4 = 1$ cách.

Theo quy tắc nhân thì có $10.1 = 10$ cách.

TH2: Chọn được $4$ bông hoa hồng vàng và $3$ bông hoa hồng đỏ.

Tương tự TH1 ta có số cách chọn là $C_5^4.C_4^3 = 20$ cách.

TH3: Chọn được $3$ bông hoa hồng vàng, $3$ bông hoa hồng đỏ và $1$  bông hoa hồng trắng.

Tương tự TH1 ta có số cách chọn là $C_5^3.C_4^3.C_3^1 = 120$ cách.

Vậy theo quy tắc cộng ta có $10 + 20 + 120 = 150$ cách.

Bài toán đối: tìm số cách chọn ra $5$  bạn mà trong đó có cả bạn Thùy và Thiện.

Bước 1: Chọn nhóm $3$  em trong $13$ em ($13$ em này không tính em Thùy và Thiện) có $C_{13}^3 = 286$ cách.

Bước 2: Chọn $2$ em Thùy và Thiện có 1 cách.

Vậy theo quy tắc nhân thì ta có $286$  cách chọn $5$  em mà trong đó có cả $2$  em Thùy và Thiện.

Chọn $5$ em bất kì trong số $15$  em thì ta có: $C_{15}^5 = 3003$ cách.

Vậy theo yêu cầu đề bài thì có tất cả $3003-286 = 2717$ cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy Và Thiện không được chọn.

Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.

Chọn $3$ trong $10$ đỉnh của đa giác, có $C_{10}^3 = 120$.

Vậy có $120$ tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác $10$ cạnh.

Bước 1: Chọn $7$ nam trong $21$ nam và $5$  nữ trong $15$  nữ cho ấp thứ nhất.

Số cách chọn là $C_{21}^7.C_{15}^5$ cách.

Bước 2: Chọn $7$ nam trong $14$ nam và $5$ nữ trong $10$ nữ cho ấp thứ hai

Số cách chọn là $C_{14}^7.C_{10}^5$ cách.

Bước 3: Chọn $7$ nam trong $7$  nam và $5$ nữ trong $5$ nữ cho ấp thứ ba.

Số cách chọn là $C_7^7.C_5^5 = 1$ cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: $C_{21}^7.C_{15}^5.C_{14}^7.C_{10}^5$ cách.

Gọi ${A_k}$ là phương án: Chọn nhóm có $k$ học sinh và chỉ định $1$ bạn trong k học sinh đó làm nhóm trưởng.

Thầy chủ nhiệm có các phương án: ${A_2},{A_3},{A_4},...,{A_{n - 1}}$

Ta tính xem ${A_k}$ có bao nhiêu cách thực hiện.

Phương án ${A_k}$ có hai công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn $k$ học sinh trong $n$ học sinh có $C_n^k$ cách chọn.

Công đoạn 2: Chọn $1$ học sinh trong $k$ học sinh làm nhóm trưởng có $C_k^1 = k$ cách.

Theo quy tắc nhân thì phương án ${A_k}$ có $kC_n^k$ cách thực hiện.

Các phương án ${A_k}$ là độc lập với nhau.

Vậy theo quy tắc cộng ta có: $T = \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k}$

Ta có:

$C_n^k = C_n^{n - k},\,\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}};\,\,A_n^k = k!C_n^k$ là các công thức đúng.

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là $\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)$.

Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.

$\Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}$.

TH1: $d = 0$, số cần tìm có dạng $\overline {abc0}$.

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì $a + b + c\,\, \vdots \,\,3$.

Ta có các nhóm: $\left\{ \begin{array}{l}9\,\, \equiv \,\,0\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {2;5;8} \right\} \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\end{array} \right.$

+) $a,\,\,b,\,\,c \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}$.

$\Rightarrow$ Có $3!$ cách chọn.

+) $a,\,\,b,\,\,c \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}$.

$\Rightarrow$ Có $3!$ cách chọn.

+) Trong 3 số $a,\,\,b,\,\,c$ có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

$\Rightarrow$ Có $1.C_3^1.C_3^1.3!$ cách chọn.

$\Rightarrow$ Có $3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66$ số.

TH2: $d = 5$, số cần tìm có dạng $\overline {abc5}$.

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì $a + b + c + 5\,\, \vdots \,\,3$, trong đó $5 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)$.

Ta có các nhóm: $\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {0;9} \right\}\,\, \equiv \,\,0\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\\\left\{ {2;8} \right\} \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\end{array} \right.$

+) Trong 3 số $a,\,\,b,\,\,c$ có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.

- Ta chọn số chia hết cho 3 trước: Có 1 cách chọn. Chọn tiếp số chia cho 3 dư 1, có $C_3^1$ cách chọn. Sắp xếp các số này có 3! cách. Theo quy tắc nhân có:  $C_3^1.3!$ cách chọn.

Trong các cách chọn này có số có chữ số 0 ở đầu nên ta phải trừ đi các cách chọn a,b,c có a=0, ta cần tìm $\overline {bc}$:

 Chọn số chia hết cho 3 có 1 cách, chọn số chia 3 dư 1 có  $C_3^1$ cách. Sắp xếp hai số này có 2! cách. Số cách chọn $\overline {bc}$ là $C_3^1 .2!$

$\Rightarrow$ Có $C_3^1.3! - C_3^1.2! = 12$ cách chọn.

+) Trong 3 số $a,\,\,b,\,\,c$ có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.

$\Rightarrow$ Có $C_2^1.3! - 2! = 10$ cách chọn.

+) Trong 3 số $a,\,\,b,\,\,c$ có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

$\Rightarrow$ Có $C_3^2.C_2^1.3! = 36$ cách chọn.

Vậy có tất cả $66 + 12 + 10 + 36 = 124$ số thỏa mãn.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline {abcd}$ $\left( {a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in \mathbb{N},\,\,0 \le a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \le 9,\,\,a \ne 0} \right)$.

TH1: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 3 chữ số bằng 0 $\Rightarrow b = c = d = 0,\,\,a = 7$.

Do đó có 1 số thỏa mãn.

TH2: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 2 chữ số bằng 0.

- Chọn vị trí cho 2 chữ số 0 có $C_3^2 = 3$ cách.

- Tổng hai chữ số còn lại là 7, ta có $7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3 = 3 + 4 = 2 + 5 = 1 + 6$ nên có 6 cách chọn 2 chữ số còn lại.

Do đó trường hợp này có 18 số.

TH3: Trong 4 chữ số a, b, c, d có 1 chữ số bằng 0.

- Chọn vị trí cho 1 chữ số 0 có $C_3^1 = 3$ cách.

- Tổng 3 chữ số còn lại bằng 7, ta có: $7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3$.

   + Với bộ số (1;2;4) có $3! = 6$ cách chọn 3 chữ số còn lại.

   + Với 3 bộ số còn lại có $\dfrac{{3!}}{{2!}} = 3$ cách chọn 3 chữ số còn lại.

Do đó trường hợp này có $3.\left( {6 + 3.3} \right) = 45$ số.

TH4: Trong 4 chữ số a, b, c, d  không có chữ số nằm bằng 0.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}7 = 1 + 1 + 1 + 4\\7 = 1 + 1 + 2 + 3\\7 = 1 + 2 + 2 + 2\end{array} \right.$.

   + Với bộ số (1;1;1;4), có $\dfrac{{4!}}{{3!}} = 4$ cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

   + Với bộ số (1;1;2;3), có $\dfrac{{4!}}{{2!}} = 12$ cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

   + Với bộ số (1;2;2;2), có $\dfrac{{4!}}{{3!}} = 4$ cách chọn 4 chữ số a, b, c, d.

Do đó trường hợp này có 4 + 12 + 4 = 20 số thỏa mãn.

Vậy có tất cả:  1 + 18 + 45 + 20 = 84 số.

Bước 1: Xác định yếu tố cấu thành tứ diện

Một tứ diện được tạo thành là một cách chọn 4 điểm phân biệt không đồng phẳng trong 10 điểm.

Bước 2: Sử dụng công thức tổ hợp.

Số cách chọn 4 điểm trong 10 điểm: $C_{10}^4 = 210$ cách.

Vậy số tứ diện là 210 tứ diện.

TH1: Chọn 1 học sinh nam và 4 học sinh nữ có $C_4^1.C_6^4 = 60$ cách.

TH2: Chọn 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ có $C_4^2.C_6^3 = 120$ cách.

Vậy có tất cả $60 + 120 = 180$ cách chọn 5 học sinh mà có cả nam và nữ, đồng thời số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ.

Cách 1:

- TH1: $a = b = c = d$ có 9 số.

- TH2: Có 2 chữ số khác nhau

$+ a = b = c < d$ có: $C_9^2$(số)

+ $a < b = c = d$ có: $C_9^2$(số)

+ $a = b < c = d$ có: $C_9^2$(số)

-TH3: Có 3 chữ số khác nhau có: $C_9^3.C_3^1$ (số)

-TH4: Có 3 chữ số khác nhau có: $C_9^4$ (số)

Số các số thỏa mãn là: $9 + C_9^2.3 + C_9^3.C_3^1 + C_9^4 = 495$ (số).

Cách 2:

Số tự nhiên có bốn chữ số $\overline {abcd}$ thoả mãn $a \le b \le c \le d$ là số tự nhiên thỏa mãn

$1 \le a < b + 1 < c + 2 < d + 3 \le 9 + 3$

Mỗi một bộ số (1;b+1;c+2;d+3) tương ứng với một số tự nhiên thỏa mãn đề bài.

Ta cần tìm số các bộ (1;b+1;c+2;d+3) thỏa mãn $1 \le a < b + 1 < c + 2 < d + 3 \le 12$

Với mỗi một cách chọn 4 số trong tập {1;2;3;…;12} là một cách chọn (1;b+1;c+2;d+3) vì ta luôn có thể sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần.

Vậy số cách chọn bộ số (1;b+1;c+2;d+3) là $C_{12}^4 = 495$ số.

Bước 1:

Gọi số cần tìm là $\overline {abc}$

Từ các số bài cho ta chia thành 3 bộ số:

+ Bộ số chia hết cho 3 là: 3;6;9

+ Bộ số chia cho 3 dư 1 là: 1;4;7

+ Bộ số chia cho 3 dư 2 là: 2;5;8

Bước 2:

Xét các trường hợp sau:

+) a, b, c đều chia hết cho 3$\Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {3;6;9} \right\}$

=> Có $3!$ số.

+) $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \equiv 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\,\bmod \,3} \right)$ $\Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {1;4;7} \right\}$

=> Có $3!$ số.

+) $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \equiv 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\,\bmod \,3} \right)$ $\Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {2;5;8} \right\}$

=> Có $3!$ số.

+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

=> Có $3!.C_3^1.C_3^1.C_3^1 = 162$

Vậy có $3.3! + 162 = 180$ số thỏa mãn đề bài.

$C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}$, nên loại C

$A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}$, nên loại B.

${P_n} = n!$, nên loại D.