Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right).\) Điều kiện để \(f\left( x \right) > 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) là
Ta có:
\(f\left( x \right) > 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) khi \(a > 0\) và \(\Delta < 0\).
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\). Điều kiện để \(f\left( x \right) \le 0\,,\forall x \in \mathbb{R}\) là
Ta có:
\(f\left( x \right) \le 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) khi \(a < 0\) và \(\Delta \le 0\).
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\) có $\Delta = {b^2} - 4ac < 0$. Khi đó mệnh đề nào đúng?
Đáp án A, B sai vì chưa biết dấu của \(a\) nên chưa kết luận được dấu của \(f\left( x \right)\)
Vì \(\Delta < 0\) và \(a \ne 0\) nên \(f\left( x \right)\) không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).
Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = 2{x^2} + 2x + 5$ nhận giá trị dương khi và chỉ khi
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}a = 2 > 0\\\Delta ' = 1 - 2.5 = - 9 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \,f\left( x \right) > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.$
Cho các tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 4;\,g\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 4;\,h\left( x \right) = 4 - 3{x^2}\). Số tam thức đổi dấu trên \(\mathbb{R}\) là:
Vì \(f\left( x \right) = 0\) vô nghiệm do \(\Delta = 9 - 4.2.4 = - 23 < 0\)
\(g\left( x \right) = 0\) vô nghiệm do \(\Delta = 9 - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) = - 7 < 0\)
\(h\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt do:
\(4 - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} = 4 \) \(\Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Nên chỉ có \(h\left( x \right)\) đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 8 - 5\sqrt 3 \):
Ta có \(f\left( x \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2 - \sqrt 3 \\x = 1 + 2\sqrt 3 \end{array} \right.\).
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu \(f\left( x \right) < 0\, \Leftrightarrow \, - 2 - \sqrt 3 < x < 1 + 2\sqrt 3 \).
Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức $f\left( x \right) = \;{x^2} + 12x + 36$?
Ta có:
$\begin{array}{l}
f\left( x \right) = {x^2} + 12x + 36\\
\Delta = {12^2} - 4.1.36 = 0
\end{array}$
Do đó, tam thức bậc hai \(f(x) \) có một nghiệm duy nhất \(x = - \frac{{12}}{{2.1}} = - 6\)
\(a = 1 > 0\) nên \(f\left( x \right) > 0,\forall x\ne -6\) hay \(f(x)\ge 0\) với mọi x.
Do đó ta có bảng xét dấu cần tìm.
Cho tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - bx + 3$. Với giá trị nào của $b$ thì tam thức $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt?
Ta có $f\left( x \right) = {x^2} - bx + 3$ có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta= {b^2} - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b < - 2\sqrt 3 \,\,\\\,b > 2\sqrt 3 \end{array} \right.\).
Giá trị nào của $m$ thì phương trình $\left( {m - 3} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x - \left( {m + 1} \right) = 0$ (1) có hai nghiệm phân biệt?
Ta có \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khi \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\5{m^2} - 2m - 3 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\\left( {m - 1} \right)\left( {5m + 3} \right) > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\\left[ \begin{array}{l}m < - \dfrac{3}{5}\,\,\\\,m > 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} $.
Điều kiện $2{x^2} - 5x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$.
Vậy tập xác định của hàm số là $\left( { - \infty ;\dfrac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.
Các giá trị $m$ để tam thức $f(x) = {x^2} - (m + 2)x + 8m + 1$ đổi dấu 2 lần là
Tam thức $f(x) = {x^2} - (m + 2)x + 8m + 1$ đổi dấu 2 lần khi và chỉ khi
$\Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) > 0$$ \Leftrightarrow {m^2} - 28m > 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 28\\m < 0\end{array} \right.$.
Tập nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 > 0\\{x^2} - 6x + 8 > 0\end{array} \right.$ là
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 > 0\\{x^2} - 6x + 8 > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x < 2\\x > 4\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x < 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x > 4\end{array} \right.\left( {VN} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < 2\end{array} \right.\left( {VN} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x > 4\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 4\end{array} \right.\).
Tìm $m$ để $\left( {m + 1} \right){x^2} + mx + m < 0,\forall x \in \mathbb{R}$?
Với \(m = - 1\) thì bpt trở thành \( - x - 1 < 0 \Leftrightarrow x > - 1\) nên bpt không đúng với mọi x (loại)
Do đó m=-1 không thỏa mãn.
Với \(m \ne - 1\), $\left( {m + 1} \right){x^2} + mx + m < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\{m^2} - 4m\left( {m + 1} \right) < 0\end{array} \right.\)
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\ - 3{m^2} - 4m < 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < - 1\\\left[ \begin{array}{l}m < - \dfrac{4}{3}\,\\m > 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m < - 1\\
m < - \frac{4}{3}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m < - 1\\
m > 0
\end{array} \right.\left( {VN} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < - 1\\
m < - \frac{4}{3}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow m < - \dfrac{4}{3}$.
Tìm $m$ để $f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {2m - 3} \right)x + 4m - 3 > 0,\;\;\forall x \in \mathbb{R}$?
$f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {2m - 3} \right)x + 4m - 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1 > 0\,\left( \text{đúng} \right)\\
\Delta ' < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow {\left( {2m - 3} \right)^2} - 1.\left( {4m - 3} \right) < 0\\
\Leftrightarrow 4{m^2} - 12m + 9 - 4m + 3 < 0\\
\Leftrightarrow 4{m^2} - 16m + 12 < 0\\
\Leftrightarrow 1 < m < 3
\end{array}$
Với giá trị nào của $a$ thì bất phương trình $a{x^2} - x + a \ge 0$ nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$ ?
Để bất phương trình $a{x^2} - x + a \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\a > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 4{a^2} \le 0\\a > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a \ge \dfrac{1}{2}\\a \le - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\a > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow a \ge \dfrac{1}{2}$.
Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình ${x^2} - x + m \le 0$ vô nghiệm?
Bất phương trình ${x^2} - x + m \le 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình ${x^2} - x + m > 0$ nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta < 0\\1 > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow 1 - 4m < 0$$ \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{4}$.
Tìm \(m\) để hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 - m \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + m \le 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} - m \le 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \le m\)
Do \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x\) nên để bpt trên có nghiệm thì \(m \ge 0\).
Khi đó \( - \sqrt m \le x - 1 \le \sqrt m \) \( \Leftrightarrow 1 - \sqrt m \le x \le 1 + \sqrt m \)
Tập nghiệm của \(\left( 1 \right)\) là \({S_1} = \left[ {1 - \sqrt m ;1 + \sqrt m } \right]\).
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - x + {m^2} + m \le 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2mx + {m^2}} \right) - \left( {x - m} \right) \le 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2} - \left( {x - m} \right) \le 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x - m - 1} \right) \le 0\) \( \Leftrightarrow m \le x \le m + 1\)
Tập nghiệm của \(\left( 2 \right)\) là \({S_2} = \left[ {m;m + 1} \right]\)
Để hệ đã cho có nghiệm thì \({S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \)
\( \Leftrightarrow \left[ {1 - \sqrt m ;1 + \sqrt m } \right] \cap \left[ {m;m + 1} \right] \ne \emptyset \,\,\left( * \right)\)
Cách 1:
\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1 + \sqrt m \\1 - \sqrt m \le m + 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \le \sqrt m \,\,\left( 3 \right)\\m + \sqrt m \ge 0\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
\(\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge 0\\{m^2} - 2m + 1 \le m\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\{m^2} - 3m + 1 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\1 \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\)
\(\left( 4 \right)\) luôn đúng vì \(m \ge 0\) nên \(m + \sqrt m \ge 0\).
Vậy \(0 \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\).
Tìm tất cả giá trị thực của tham số \(m\) để hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 10x + 16 \le 0\left( 1 \right)\\mx \ge 3m + 1\left( 2 \right)\end{array} \right.\) vô nghiệm.
Bất phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 8 \le x \le - 2.\) Suy ra \({S_1} = \left[ { - 8; - 2} \right]\).
Giải bất phương trình (2)
Với \(m = 0\) thì bất phương trình (2) trở thành \(0x \ge 1\) : vô nghiệm .
Với \(m > 0\) thì bất phương trình (2) tương đương với \(x \ge \dfrac{{3m + 1}}{m}\) .
Suy ra \({S_2} = \left[ {\dfrac{{3m + 1}}{m}; + \infty } \right)\).
Hệ vô nghiệm \( \Leftrightarrow - 2 < \dfrac{{3m + 1}}{m}\) \( \Leftrightarrow - 2m < 3m + 1 \Leftrightarrow m > - \dfrac{1}{5}\).
Kết hợp \(m > 0\) ta được \(m > 0\).
+) Với \(m < 0\) thì bất phương trình (2) tương đương với \(x \le \dfrac{{3m + 1}}{m}\).
Suy ra \({S_2} = \left( { - \infty ;\dfrac{{3m + 1}}{m}} \right]\).
Hệ vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{{3m + 1}}{m} < - 8\) \( \Leftrightarrow 3m + 1 > - 8m \Leftrightarrow m > - \dfrac{1}{{11}}\).
Kết hợp với \(m < 0\) ta được \( - \dfrac{1}{{11}} < m < 0\).
Vậy \(m > - \dfrac{1}{{11}}\).
Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên âm để mọi $x > 0$ đều thoả bất phương trình ${\left( {{x^2} + x + m} \right)^2} \ge {\left( {{x^2} - 3x - m} \right)^2}$?
Ta có ${\left( {{x^2} + x + m} \right)^2} \ge {\left( {{x^2} - 3x - m} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x + m} \right)^2} - {\left( {{x^2} - 3x - m} \right)^2} \ge 0$
$ \Leftrightarrow 4x\left( {2x + m} \right)\left( {x - 1} \right) \ge 0$
Với \(m < 0\) ta có bảng xét dấu
TH1: \( - \dfrac{m}{2} \ge 1\)
Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với \(x > 0\) thì \( - \dfrac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = - 2\)
TH 2: \(0< - \dfrac{m}{2} < 1\)
Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với \(x > 0\) thì \( - \dfrac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = - 2\)
Vậy có 1 giá trị
Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 5x + 4}}{{2{x^2} + 3x + 1}}} \) là
Hàm số xác định khi và chỉ khi \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 5x + 4}}{{2{x^2} + 3x + 1}} \ge 0.\)
Phương trình \({x^2} + 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - \,4\end{array} \right.\) và \(2{x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \,1\\x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right..\)
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy \(\dfrac{{{x^2} + 5x + 4}}{{2{x^2} + 3x + 1}} \ge 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left( { - \dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left( { - \dfrac{1}{2}; + \infty } \right).\)
