Dấu của tam thức bậc hai

Ta có:

$f\left( x \right) > 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}$ khi $a > 0$ và $\Delta  < 0$.

Ta có:

$f\left( x \right) \le 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}$ khi $a < 0$ và $\Delta  \le 0$.

Đáp án A, B sai vì chưa biết dấu của $a$ nên chưa kết luận được dấu của $f\left( x \right)$

Vì $\Delta  < 0$ và $a \ne 0$ nên $f\left( x \right)$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}a = 2 > 0\\\Delta ' = 1 - 2.5 =  - 9 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \,f\left( x \right) > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.$

Vì $f\left( x \right) = 0$ vô nghiệm do $\Delta = 9 - 4.2.4 = - 23 < 0$

$g\left( x \right) = 0$ vô nghiệm do $\Delta = 9 - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) = - 7 < 0$

$h\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt do:

$4 - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} = 4$ $\Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{2}{{\sqrt 3 }}$

Nên chỉ có $h\left( x \right)$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$.

Ta có $f\left( x \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2 - \sqrt 3 \\x = 1 + 2\sqrt 3 \end{array} \right.$.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $f\left( x \right) < 0\, \Leftrightarrow \, - 2 - \sqrt 3  < x < 1 + 2\sqrt 3$.

Ta có:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = {x^2} + 12x + 36\\ \Delta = {12^2} - 4.1.36 = 0 \end{array}$

Do đó, tam thức bậc hai $f(x)$ có một nghiệm duy nhất $x =   - \frac{{12}}{{2.1}} = - 6$

$a = 1 > 0$ nên $f\left( x \right) > 0,\forall x\ne -6$ hay $f(x)\ge 0$ với mọi x.

Do đó ta có bảng xét dấu cần tìm.

Ta có $f\left( x \right) = {x^2} - bx + 3$ có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta= {b^2} - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b <  - 2\sqrt 3 \,\,\\\,b > 2\sqrt 3 \end{array} \right.$.

Ta có $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khi $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\5{m^2} - 2m - 3 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\\left( {m - 1} \right)\left( {5m + 3} \right) > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\\left[ \begin{array}{l}m <  - \dfrac{3}{5}\,\,\\\,m > 1\end{array} \right.\end{array} \right.$

Điều kiện $2{x^2} - 5x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$.

Vậy tập xác định của hàm số là $\left( { - \infty ;\dfrac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.

Tam thức $f(x) = {x^2} - (m + 2)x + 8m + 1$ đổi dấu 2 lần khi và chỉ khi

$\Delta  > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) > 0$$\Leftrightarrow {m^2} - 28m > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 28\\m < 0\end{array} \right.$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 > 0\\{x^2} - 6x + 8 > 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x < 2\\x > 4\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x < 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x > 4\end{array} \right.\left( {VN} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < 2\end{array} \right.\left( {VN} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x > 4\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 4\end{array} \right.$.

Với $m =  - 1$ thì bpt trở thành $- x - 1 < 0 \Leftrightarrow x >  - 1$ nên bpt không đúng với mọi x (loại)

Do đó m=-1 không thỏa mãn.

Với $m \ne  - 1$, $\left( {m + 1} \right){x^2} + mx + m < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\{m^2} - 4m\left( {m + 1} \right) < 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\ - 3{m^2} - 4m < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\\left[ \begin{array}{l}m <  - \dfrac{4}{3}\,\\m > 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m < - 1\\ m < - \frac{4}{3} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m < - 1\\ m > 0 \end{array} \right.\left( {VN} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < - 1\\ m < - \frac{4}{3} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow m <  - \dfrac{4}{3}$.

$f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {2m - 3} \right)x + 4m - 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1 > 0\,\left( \text{đúng} \right)\\ \Delta ' < 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 3} \right)^2} - 1.\left( {4m - 3} \right) < 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m + 9 - 4m + 3 < 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 16m + 12 < 0\\ \Leftrightarrow 1 < m < 3 \end{array}$

Để bất phương trình $a{x^2} - x + a \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  \le 0\\a > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 4{a^2} \le 0\\a > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a \ge \dfrac{1}{2}\\a \le  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\a > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow a \ge \dfrac{1}{2}$.

Bất phương trình ${x^2} - x + m \le 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình ${x^2} - x + m > 0$ nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  < 0\\1 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow 1 - 4m < 0$$\Leftrightarrow m > \dfrac{1}{4}$.

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} - m \le 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \le m$

Do ${\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x$ nên để bpt trên có nghiệm thì $m \ge 0$.

Khi đó $- \sqrt m  \le x - 1 \le \sqrt m$ $\Leftrightarrow 1 - \sqrt m  \le x \le 1 + \sqrt m$

Tập nghiệm của $\left( 1 \right)$ là ${S_1} = \left[ {1 - \sqrt m ;1 + \sqrt m } \right]$.

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - x + {m^2} + m \le 0$ $\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2mx + {m^2}} \right) - \left( {x - m} \right) \le 0$

$\Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2} - \left( {x - m} \right) \le 0$ $\Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x - m - 1} \right) \le 0$ $\Leftrightarrow m \le x \le m + 1$

Tập nghiệm của $\left( 2 \right)$ là ${S_2} = \left[ {m;m + 1} \right]$

Để hệ đã cho có nghiệm thì ${S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset$

$\Leftrightarrow \left[ {1 - \sqrt m ;1 + \sqrt m } \right] \cap \left[ {m;m + 1} \right] \ne \emptyset \,\,\left( * \right)$

Cách 1:

$\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1 + \sqrt m \\1 - \sqrt m  \le m + 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \le \sqrt m \,\,\left( 3 \right)\\m + \sqrt m  \ge 0\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.$

$\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ge 0\\{m^2} - 2m + 1 \le m\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\{m^2} - 3m + 1 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\1 \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$

$\left( 4 \right)$ luôn đúng vì $m \ge 0$ nên $m + \sqrt m  \ge 0$.

Vậy $0 \le m \le \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$.

Bất phương trình $\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 8 \le x \le  - 2.$ Suy ra ${S_1} = \left[ { - 8; - 2} \right]$.

Giải bất phương trình (2)

Với $m = 0$ thì bất phương trình (2) trở thành $0x \ge 1$ : vô nghiệm .

Với $m > 0$ thì bất phương trình (2) tương đương với $x \ge \dfrac{{3m + 1}}{m}$ .

Suy ra ${S_2} = \left[ {\dfrac{{3m + 1}}{m}; + \infty } \right)$.

Hệ vô nghiệm $\Leftrightarrow  - 2 < \dfrac{{3m + 1}}{m}$ $\Leftrightarrow  - 2m < 3m + 1 \Leftrightarrow m >  - \dfrac{1}{5}$.

Kết hợp $m > 0$ ta được $m > 0$.

+) Với $m < 0$ thì bất phương trình (2) tương đương với $x \le \dfrac{{3m + 1}}{m}$.

Suy ra ${S_2} = \left( { - \infty ;\dfrac{{3m + 1}}{m}} \right]$.

Hệ vô nghiệm $\Leftrightarrow \dfrac{{3m + 1}}{m} <  - 8$ $\Leftrightarrow 3m + 1 >  - 8m \Leftrightarrow m >  - \dfrac{1}{{11}}$.

Kết hợp với $m < 0$ ta được $- \dfrac{1}{{11}} < m < 0$.

Vậy $m >  - \dfrac{1}{{11}}$.

Ta có ${\left( {{x^2} + x + m} \right)^2} \ge {\left( {{x^2} - 3x - m} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x + m} \right)^2} - {\left( {{x^2} - 3x - m} \right)^2} \ge 0$

$\Leftrightarrow 4x\left( {2x + m} \right)\left( {x - 1} \right) \ge 0$

Với $m < 0$ ta có bảng xét dấu

TH1: $- \dfrac{m}{2} \ge 1$

Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với $x > 0$ thì $- \dfrac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m =  - 2$

TH 2: $0< - \dfrac{m}{2} < 1$

Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với $x > 0$ thì $- \dfrac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m =  - 2$

Vậy có 1 giá trị

Hàm số xác định khi và chỉ khi $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 5x + 4}}{{2{x^2} + 3x + 1}} \ge 0.$

Phương trình ${x^2} + 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - \,4\end{array} \right.$ và $2{x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \,1\\x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right..$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy $\dfrac{{{x^2} + 5x + 4}}{{2{x^2} + 3x + 1}} \ge 0$$\Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left( { - \dfrac{1}{2}; + \infty } \right)$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left( { - \dfrac{1}{2}; + \infty } \right).$