Cho elip $(E)$ có phương trình chính tắc là \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Gọi \(2c\) là tiêu cự của $(E).$ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Theo lý thuyết phương trình chính tắc của elip có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)
Cho hypebol $(H):\,\dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$, xác định tọa độ các đỉnh của $(H)$:
$\left( H \right)\,\,:\,\dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow a = 4,\,\,b = 3$
Tọa độ các đỉnh của $(H)$ là: ${A_1}\left( { - 4;0} \right);\,\,{A_2}\left( {4;0} \right);\,\,{B_1}\left( {0; - 3} \right);\,\,{B_2}\left( {0;3} \right)$
Anten vệ tinh parabol ở sau có đầu thu đặt tại tiêu điểm, đường kính miệng anten là 240 cm, khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới miệng anten là 130 cm. Tính khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh anten.
B.\(23,26\) cm
B.\(23,26\) cm
B.\(23,26\) cm
Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với đỉnh anten và trục Ox đi qua đầu thu.
Giả sử phương trình chính tắc của (P) là \({y^2} = 2px{\rm{ }}\left( {p > 0} \right).\)
Theo hình vẽ, khi $x = p + 130$ thì $y = 120$ hoặc $y = –120$
Do đó \({120^2}\; = 2p\left( {\;\dfrac{p}{2}\; + {\rm{ }}130} \right) \Rightarrow \;p \approx 46,92.\)
Khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh anten là:
\(\dfrac{p}{2} \approx \dfrac{{46,92}}{2} = 23,26\,\,\left( {cm} \right).\)
Cho elip (E) có hai tiêu điểm là \({F_1},{F_2}\) và có độ dài trục lớn là \(2a\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Elip (E) có hai tiêu điểm là \({F_1},{F_2}\) ta có \(2c = {F_1}{F_2}\) .
Vì \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) và \(a,b,c > 0\) nên ta có \({a^2} > {c^2} \Leftrightarrow a > c\). Do đó \(2a > {F_1}{F_2}\)
Hypebol $(H):\,\,25{x^2} - 16{y^2} = 400$ có tiêu cự bằng:
$(H):\,\,25{x^2} - 16{y^2} = 400 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{{25}} = 1 \Rightarrow a = 4,\,\,b = 5$
Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2} \Leftrightarrow {c^2} = {4^2} + {5^2} = 41 \Rightarrow c = \sqrt {41} $
$ \Rightarrow $ Tiêu cự ${F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {41} $.
Cho parabol có phương trình \({y^2}\; = 12x.\)
Tìm toạ độ tiêu điểm của parabol.
Có $2p=12 ⇒ p=6$ ⇒ Toạ độ tiêu điểm là F(3; 0).
Cho parabol có phương trình \({y^2}\; = 12x.\)
Tìm phương trình đường chuẩn của parabol.
Có $2p = 12 ⇒ p = 6$ ⇒ Phương trình đường chuẩn của parabol là x = –3.
Cho parabol có phương trình \({y^2}\; = 12x.\)
Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol biết điểm M có hoành độ bằng 5.
Bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5 là
\(MF = x + \;\dfrac{p}{2} = 5 + \dfrac{6}{2} = 8.\)
Elip $(E)$ có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tâm sai của $(E)$ là:
Elip có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên ta có \(b = c\)
Mặt khác ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) , suy ra \({a^2} = 2{c^2}\) hay \(a = \sqrt 2 c\)
Tâm sai của elip là: \(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{c}{{\sqrt 2 c}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Hypebol $(H):\,\,16{x^2} - 9{y^2} = 16$ có các đường tiệm cận là:
$(H):\,\,16{x^2} - 9{y^2} = 16 $ $\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{1} - \dfrac{{{y^2}}}{{\dfrac{{16}}{9}}} = 1 $ $\Rightarrow a = 1,\,\,b = \dfrac{4}{3}$
Hai đường tiệm cận của $(H):$ $y = \dfrac{b}{a}x = \dfrac{{\dfrac{4}{3}}}{1}x = \dfrac{4}{3}x;$
$y= - \dfrac{b}{a}x = - \dfrac{{\dfrac{4}{3}}}{1}x = - \dfrac{4}{3}x$
Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km.
Viết phương trình chính tắc của parabol (P).
Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với đỉnh của parabol, tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.
Gọi phương trình chính tắc của (P) là \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right).\)
Gọi F là tiêu điểm của (P), (x; y) là toạ độ của sao chổi A.
Khi đó khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là:
\(\;AF = \;x + \dfrac{p}{2} \ge \;\dfrac{p}{2}\;\)(vì \(x{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\))\(\)
⇒ khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là \(\dfrac{p}{2}\) (km)\(\)
\( \Rightarrow \dfrac{p}{2} = 112 \Rightarrow p = 224.\)
Vậy phương trình chính tắc của (P) là \({y^2}\; = 448x.\)
Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km.
Tính khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P).
Khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P) thì sao chổi có hoành độ là \(x = \dfrac{p}{2}\)
Khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi đó là:
\(AF = \;x + \dfrac{p}{2} = \dfrac{p}{2} + \dfrac{p}{2} = p = 224\left( {km} \right).\)
Elip có độ dài trục lớn là $12,$ độ dài trục nhỏ là $8$ có phương trình chính tắc là:
Độ dài trục lớn là $12,$ suy ra \(2a = 12\) hay \(a = 6\)
Độ dài trục nhỏ là $8,$ suy ra \(2b = 8\) hay \(b = 4\)
Vậy elip cần tìm là \(\dfrac{{{x^2}}}{{36}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
Lập phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ biết $(H)$ có tiêu điểm ${F_2}(5;0)$ và đỉnh $A( - 4;0)$
$(H)$ có tiêu điểm ${F_2}(5;0)$ và đỉnh $A( - 4;0)$ $ \Rightarrow c = 5,\,\,a = 4$
Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2} \Leftrightarrow {4^2} + {b^2} = {5^2} \Rightarrow b = 3$
Phương trình chính tắc của $(H):$ $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$
Các vật liệu xây dựng đều có hệ số dãn nở. Vì thế, khi đặt dầm cầu, người ta thường đặt cố định một đầu dầm, đầu còn lại đặt trên một con lăn có thể di động được nhằm giải quyết sự dãn nở của vật liệu. Hình 21 minh hoạ một dầm cầu được đặt ở hai bờ kênh, giới hạn bởi hai cung parabol có cùng trục đối xúmg. Người ta thiết kế các thanh giằng nối hai cung parabol đó sao cho các thanh giằng theo phương thẳng đứng cách đều nhau và cách đều hai đầu dầm.
Tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng bằng:
D. 47,07 mét.
D. 47,07 mét.
D. 47,07 mét.
Ta chọn hai hệ trục toạ độ Oxy và O'xy' sao cho đỉnh của mỗi parabol trùng với O và O' (như hình vẽ, đơn vị trên các trục là mét).
Ta cần tính các đoạn \(OO',{\rm{ }}{A_1}{A_2},{\rm{ }}{B_1}{B_2},{\rm{ }}{C_1}{C_2}.\)
Dễ thấy \(OO' = {\rm{ }}AA' = {\rm{ }}BB' = CC' = 9.\)
- Xét trong hệ trục toạ độ Oxy:
Giả sử parabol (P) có phương trình: \({y^2}\; = 2px\left( {p > 0} \right).\)
Khi đó D có toạ độ (21; 40) thuộc (P) nên \({40^2} = 2p.21\)\( \Rightarrow 2p = \dfrac{{1600}}{{21}}\)
Vậy phương trình của (P) là \({y^2} = \dfrac{{1600}}{{21}}x\)
- Xét trong hệ trục toạ độ O'xy':
Giả sử parabol (P') có phương trình: \(y{'^2} = 2px\left( {p > 0} \right).\)
Khi đó D có toạ độ (12; 40) thuộc (P') nên \({40^2}\; = 2p.12 \Rightarrow 2p = \dfrac{{400}}{3}\)
Vậy phương trình của (P') là \(y{'^2} = \dfrac{{400}}{3}x\)
- Tính các đoạn \({A_1}{A_2},{\rm{ }}{B_1}{B_2},{\rm{ }}{C_1}{C_2}:\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1}{A_2}\; = A{A_2}\; - {\rm{ }}A{A_1}\; = \left( {AA' + A'{A_2}} \right)-A{A_1}\; = \left( {9 + 0,75} \right)-1,3125 = 8,3475.}\\{{B_1}{B_2}\; = B{B_2}\; - {\rm{ }}B{B_1}\; = \left( {BB' + B'{B_2}} \right)-B{B_1}\; = \left( {9 + 3} \right)-5,25 = 6,75.}\\{{C_1}{C_2}\; = C{C_2}\; - {\rm{ }}C{C_1}\; = \left( {CC' + C'{C_2}} \right)-C{C_1}\; = \left( {9 + 6,75} \right)-11,8125 = 3,9375.}\end{array}\)
Tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{OO' + 2{A_1}{A_2}\; + {\rm{ }}2{B_1}{B_2}\; + 2{C_1}{C_2}}\\{ = {\rm{ }}9 + 2.8,3475 + 2.6,75 + 2{\rm{ }}.{\rm{ }}3,9375}\\{ = {\rm{ }}47,07.}\end{array}\)
Vậy tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là 47,07 mét.
Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là $20,$ tâm sai là \(e = \dfrac{3}{5}\) là:
Độ dài trục lớn là $20,$ suy ra \(2a = 20\) hay \(a = 10\)
Tâm sai \(e = \dfrac{3}{5}\), suy ra \(\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}\) suy ra \(c = 6\)
Mặt khác, ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\), suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 100 - 36 = 64\)
Lập phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ biết $(H)$ có trục thực dài bằng $8$ và tâm sai $e = \dfrac{5}{4}$.
$(H)$ có trục thực dài bằng $8$ và tâm sai $e = \dfrac{5}{4}$$ \Rightarrow a = 4,\,\,e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{4} $ $\Rightarrow c = \dfrac{5}{4}.a = \dfrac{5}{4}.4 = 5$
Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2} \Leftrightarrow {4^2} + {b^2} = {5^2} \Rightarrow b = 3$
Phương trình chính tắc của $(H):$ $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.
Lập phương trình của hypebol $(H) $ biết $(H)$ có tiêu điểm ${F_1}\left( { - 10;0} \right)$ và một đường tiệm cận là $y = - \dfrac{4}{3}x$
$(H)$ có tiêu điểm ${F_1}\left( { - 10;0} \right)$ và một đường tiệm cận là $y = - \dfrac{4}{3}x$
$ \Rightarrow c = 10,\,\,\dfrac{b}{a} = \dfrac{4}{3}$ $ \Rightarrow a = \dfrac{3}{4}b $ $\Leftrightarrow {a^2} = \dfrac{9}{{16}}{b^2}$
Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{9}{{16}}{b^2} + {b^2} = {10^2} $ $\Leftrightarrow {b^2} = 64$
${a^2} = \dfrac{9}{{16}}{b^2} = 36$
Phương trình chính tắc của $(H):$ $\dfrac{{{x^2}}}{{36}} - \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1.$
