Cho \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng:
Vì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) suy ra \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {0^0}\)
Do đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos {0^{\rm{o}}} = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\) nên chọn A.
Cho \(M\) là trung điểm \(AB\), tìm biểu thức sai:
Phương án A:$\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AB} $ ngược hướng suy ra $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB} = MA.AB.\cos {180^{\rm{o}}} = - MA.AB$ nên loại A.
Phương án B:$\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} $ ngược hướng suy ra $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = MA.MB.\cos {180^{\rm{o}}} = - MA.MB$ nên loại B.
Phương án C: $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} $ cùng hướng suy ra $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = AM.AB.\cos {0^{\rm{o}}} = AM.AB$ nên loại C.
Phương án D:$\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} $ ngược hướng suy ra $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = MA.MB.\;\cos {180^{\rm{o}}} = - MA.MB$ nên chọn D.
Biết \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \)\( \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\). Câu nào sau đây đúng
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| \) \(\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| \) \(\Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - 1\) nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng.
Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(BC = 6\) và đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right)\) sao cho \(BH = 2HC\). Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \)
Ta có:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HB} } \right).\overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \) \( = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} = HB.BC.\cos \left( {\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) \( = \dfrac{2}{3}BC.BC.\cos \left( {\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) \( = \dfrac{2}{3}.6.6.\cos {180^0} = - 24\)
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a = 2\). Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải.
Phương án A:\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC\cos {60^{\rm{o}}} = 2 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BC} \) nên loại A.
Phương án B:\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} = BC.AC\cos {120^{\rm{o}}} = - 2\) nên loại B.
Phương án C:\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} = 4\) nên chọn C.
Phương án D: $\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BA} = \left( { - \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} } \right).\overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BA} = B{A^2} = 4$ nên loại D.
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), \(\widehat A = {120^0}\) và \(AB = a\). Tính \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} \)
Ta có \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} = BA.CA.\cos {120^{\rm{o}}} = - \dfrac{1}{2}{a^2}\).
Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\). Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
Phương án A:\(\overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OB} \) suy ra \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\) nên loại A.
Phương án B: $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} .\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC} $ nên loại B.
Phương án C: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos {45^{\rm{o}}} \) \(= AB.AB\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\)
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = AB.DC.\cos {180^0} = - A{B^2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \) nên chọn C.
Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
Phương án A: Do \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {CB} = DA.CB.\cos {0^0} = {a^2}\) nên loại A đúng, loại A.
Phương án B: Do \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = AB.CD.\cos {180^{\rm{o}}} = - {a^2}\) nên B đúng, loại B.
Phương án C: \(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} = A{C^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}\) nên C sai, chọn C.
Phương án D: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} = 0\) đúng vì \(AB \bot AD,CB \bot CD\)
Cho hình thang vuông \(ABCD\) có đáy lớn \(AB = 4a\), đáy nhỏ \(CD = 2a\), đường cao \(AD = 3a\); \(I\) là trung điểm của \(AD\) . Câu nào sau đây sai?
Phương án A:\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC} = AB.DC.\cos {0^{\rm{o}}} = 8{a^2}\)nên loại A.
Phương án B:\(\overrightarrow {AD} \bot \overrightarrow {CD} \) suy ra \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {CD} = 0\) nên loại B.
Phương án C:\(\overrightarrow {AD} \bot \overrightarrow {AB} \) suy ra \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = 0\)nên loại C.
Phương án D:\(\overrightarrow {DA} \) không vuông góc với \(\overrightarrow {DB} \)suy ra \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DB} \ne 0\) nên chọn D .
Cho hình thang vuông \(ABCD\) có đáy lớn \(AB = 4a\), đáy nhỏ \(CD = 2a\), đường cao \(AD = 3a\); \(I\) là trung điểm của \(AD\) . Khi đó \(\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {ID} \) bằng :
Ta có:
\(\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {ID} \) \(= \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {ID} =\) \( 2\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID} \) \(= - \dfrac{{9{a^2}}}{2}\)
(do \(AB \bot ID\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {ID} = 0\))
Nên chọn B.
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh $a$, với các đường cao \(AH,BK;\) vẽ\(HI \bot AC.\) Câu nào sau đây đúng?
Phương án A:$\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BH} \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BH} $ nên đẳng thức ở phương án A là đúng.
Phương án B:\(\overrightarrow {CA} = 4\overrightarrow {CI} \Rightarrow \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} = 4\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CI} \) nên đẳng thức ở phương án B là đúng.
Phương án C:
\(\left. \begin{array}{l}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BC} = {a^2}\\2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 2.a.a.\dfrac{1}{2} = {a^2}\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)nên đẳng thức ở phương án C là đúng.
Vậy chọn D.
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\), với đường cao \(BK\). Câu nào sau đây đúng?
Phương án A:do \(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = - \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} = 0\) nên loại A
Phương án B:do \(\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CK} = CB.CK.\cos {60^{\rm{o}}} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\) nên loại B và loại D.
Phương án C: Do \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos {60^{\rm{o}}} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\) nên chọn C.
Cho hình vuông $ABCD$, tính ${\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right)$
Vì \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = {180^{\rm{o}}} - \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {135^{\rm{o}}} \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) =\cos 135^o= - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(BC = a\sqrt 2 \). Tính \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \)
Ta có \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = a.a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).
Cho ba điểm \(A,B,C\) phân biệt. Tập hợp những điểm \(M\) mà \(\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \) là:
$\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} $ $\Leftrightarrow \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 0 $ $\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CA} } \right).\overrightarrow {CB} = 0 $ $\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CB} = 0$
Tập hợp điểm \(M\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC\).
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AC = 2a. Tính góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {DC} .\)
Ta có: ABCD là hình chữ nhật nên ta có: AB = DC = a.
\(\begin{array}{l}\angle \left( {\overrightarrow {CA} ,\,\,\overrightarrow {DC} } \right) = \angle \left( {\overrightarrow {CA} ,\,\,\overrightarrow {Cx} } \right) = \angle ACx = {180^0} - \angle ACD.\\ \Rightarrow \cos \angle ACD = \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{a}{{2a}} = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ACD = {60^0}\\ \Rightarrow \angle ACx = {180^0} - {60^0} = {120^0}.\end{array}\)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CD, AB của hình bình hành ABCD. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: