Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB, O là điểm bất kì. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
Theo quy tắc ba điểm ta có
→OA+→OB+→OC=(→OP+→PA)+(→OM+→MB)+(→ON+→NC)=(→OM+→ON+→OP)+→PA+→MB+→NC=(→OM+→ON+→OP)−(→BM+→CN+→AP)
Vì PN,MN là đường trung bình của tam giác ABC nên
PN//BM,MN//BP suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành
⇒→BM=→PN
N là trung điểm của AC⇒→CN=→NA
Do đó theo quy tắc ba điểm ta có
→BM+→CN+→AP=(→PN+→NA)+→AP=→PA+→AP=→0
Do đó →OA+→OB+→OC=→OM+→ON+→OP
Đơn giản biểu thức C=1sin10∘+√3cos10∘.
C=1sin10o+√3cos10o=cos10o+√3sin10osin10ocos10o=12cos10o+√32sin10o2sin10ocos10o4=4sin40osin20o=8cos20o.
Cho tứ giác ABCD có →AD=→BC. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?
Dựa vào hình vẽ ta thấy ABCD là hình bình hành nên A đúng.
⇒AD=BC⇒ B đúng.
Hai vectơ →AB và →DC cùng hướng và AB = DC nên →AB=→DC⇒D đúng.
Vậy C sai. (2 đường chéo của hình bình hành không bằng nhau)
Cho tanα+cotα=m. Tính giá trị biểu thức tan3α+cot3α.
tan3α+cot3α=(tanα+cotα)3−3tanα.cotα(tanα+cotα)=m3−3m.
Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là:
Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là 2 vectơ →AB và →AC cùng phương
⇔∃k≠0:→AB=k→AC.
Giá trị của tan1800 bằng:
Ta có: tan1800=0
Cho hình thoi ABCD cạnh a và ^BCD=600. Gọi O là tâm hình thoi. Chọn kết luận đúng:
Ta có |→AB+→AD|=|→AC| (quy tắc hình bình hành)
Xét tam giác BCD có CD=CB=a và góc ^BCD=600 nên tam giác BCD đều cạnh a
Xét tam giác DOC có ˆO=900 và DC=a,DO=12DB=a2 nên CO=√DC2−DO2=√a2−a24=a√32
Do đó AC=2OC=2.a√32=a√3 hay |→AB+→AD|=a√3 nên A đúng.
Lại có:
→OB−→DC=→DO−→DC=→CO nên |→OB−→DC|=|→CO|=CO=a√32
|→OB−→DC|=|→CO|=a√32≠a√34 nên B sai.
Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a. M là một điểm bất kỳ. Chứng minh rằng →u=→MA+→MB−→MC−→MD không phụ thuộc vị trí điểm M. Tính độ dài vectơ →u
Theo quy tắc phép trừ ta có
→u=(→MA−→MC)+(→MB−→MD)=→CA+→DB
Suy ra →u không phụ thuộc vị trí điểm M.
Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC tại C′.
Khi đó tứ giác ADBC′ là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy ra →DB=→AC′
Do đó →u=→CA+→AC′=→CC′
=> |→u|=|→CC′|=CC′=BC+BC′
Mà ta có BC′=AD=a (do ADBC′ là hình bình hành) và BC=a (gt)
Vậy |→u|=a+a=2a
Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm G và G’. Đẳng thức nào dưới đây là sai?
Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’ nên ta có:
→GA+→GB+→GC=→0→G′A′+→G′B′+→G′C′=→0.
Với điểm M bất kì khác điểm G ta chứng minh: 3→MG=→MA+→MB+→MC
Ta có: →MA+→MB+→MC =→MG+→GA+→MG+→GB+→MG+→GC=3→MG
Tương tự ta có: 3→MG′=→MA′+→MB′+→MC′
Từ đó suy ra
3→GG′=3(→MG′−→MG)=3→MG′−3→MG=→MA′+→MB′+→MC′−→MA−→MB−→MC=(→MA′−→MA)+(→MB′−→MB)+(→MC′−→MC)=→AA′+→BB′+→CC′.
Nên A đúng.
Đáp án B:
3→GG′=→GG′+→GG′+→GG′=→GA+→AC′+→C′G′+→GB+→BA′+→A′G′+→GC+→CB′+→B′G′=(→GA+→GB+→GC)+(→AC′+→BA′+→CB′)+(→C′G′+→A′G′+→B′G′)=→0+(→AC′+→BA′+→CB′)+→0=→AC′+→BA′+→CB′
Nên B đúng.
Đáp án C:
3→GG′=→GG′+→GG′+→GG′=→GA+→AB′+→B′G′+→GB+→BC′+→C′G′+→GC+→CA′+→A′G′=(→GA+→GB+→GC)+(→AB′+→BC′+→CA′)+(→B′G′+→C′G′+→A′G′)=→0+(→AB′+→BC′+→CA′)+→0=→AB′+→BC′+→CA′
Nên C đúng.
D sai do A đúng.
Cho tam giác ABC vuông tại A có và BC=a√5. Tính độ dài của vectơ →AB+→AC.
Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành.
Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có →AB+→AC=→AD
Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra AD=BC=a√5
Vậy |→AB+→AC|=|→AD|=AD=a√5
Cho hình bình hành ABCD. Trên các đoạn thẳngDC,AB theo thứ tự lấy các điểm M,N sao cho DM=BN. Gọi P là giao điểm của AM,DB và Q là giao điểm của CN,DB. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có DM=BN⇒AN=MC, mặt khác AN song song với MC do đó tứ giác ANCM là hình bình hành
Suy ra →AM=→NC.
Xét tam giác ΔDMP và ΔBNQ ta có DM=NB (giả thiết), ^PDM=^QBN (so le trong)
Mặt khác ^DMP=^APB (đối đỉnh) và ^APQ=^NQB (hai góc đồng vị) suy ra ^DMP=^BNQ.
Do đó ΔDMP=ΔBNQ (c.g.c) suy ra DP=QB.
Dễ thấy →DP,→QB cùng hướng vì vậy →DP=→QB.
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của BC. Dựng điểm B′ sao cho →B′B=→AG, gọi J là trung điểm của BB′. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có →B′B=→AG suy ra B′B=AG.
Dễ thấy →BJ,→IG cùng hướng (1).
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên IG=12AG, J là trung điểm BB′ suy ra BJ=12BB′
Vì vậy BJ=IG (2)
Từ (1) và (2) ta có →BJ=→IG.
Cho tam giác ABC và I thỏa mãn →IA=3→IB. Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng.
Ta có:
→CI=→CA−→IA=→CA−3→IB=→CA−3(→CB−→CI)⇔→CI=→CA−3→CB+3→CI⇔2→CI=3→CB−→CA⇔→CI=12(3→CB−→CA)
Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 1. Tính →AB.→BC ?
Lấy điểm D sao cho →AB=→BD⇒(→AB,→BC)=(→BD;→BC)=1200
⇒→AB.→BC=|→AB|.|→BC|.cos(→AB,→BC)=1.1.cos1200=−12
(vì tam giác ABC đều cạnh 1 nên AB=BC=1⇒|→AB|=|→BC|=1)
Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB=4a, đáy nhỏ CD=2a, đường cao AD=3a; I là trung điểm của AD . Khi đó (→IA+→IB).→ID bằng:
Ta có (→IA+→IB).→ID=(→IA+→IA+→AB).→ID=2→IA.→ID=−9a22 nên chọn B.
Nếu \sin x = \dfrac{4}{5} thì giá trị của \cos 4x = ?
\cos 4x = 2{\cos ^2}2x - 1 = 2.{\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)^2} - 1 = 2{\left( {1 - 2.{{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}^2}} \right)^2} - 1 = - \dfrac{{527}}{{625}}
Cho tam giác ABC đều cạnh a và G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG. Tính độ dài của vectơ \overrightarrow {BI} .
Ta có \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = a
Gọi M là trung điểm của BC \Rightarrow BM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}
Tam giác ABM vuông tại M nên AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}
Ta có \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}
Mà I là trung điểm của AG nên MI = AG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}
\left| {\overrightarrow {BI} } \right| = BI = \sqrt {B{M^2} + M{I^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}
Nếu \sin a - \cos a = \dfrac{1}{5}\,\,\left( {{{135}^0} < a < {{180}^0}} \right) thì giá trị đúng của \tan 2a là:
\sin a - \cos a = \dfrac{1}{5}\, \Rightarrow {\left( {\sin a - \cos a} \right)^2} = \dfrac{1}{{25}} \Leftrightarrow {\sin ^2}a - 2\sin a\cos a + {\cos ^2}a = \dfrac{1}{{25}} \Leftrightarrow 1 - \sin 2a = \dfrac{1}{{25}} \Leftrightarrow \sin 2a = \dfrac{{24}}{{25}}
Ta có: {\sin ^2}2a + {\cos ^2}2a = 1 \Rightarrow {\left( {\dfrac{{24}}{{25}}} \right)^2} + {\cos ^2}2a = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}2a = \dfrac{{49}}{{625}} \Leftrightarrow \cos 2a = \pm \dfrac{7}{{25}}
Mà {135^0} < a < {180^0} \Leftrightarrow {270^0} < 2a < {360^0} \Rightarrow \cos 2a > 0 \Rightarrow \cos 2a = \dfrac{7}{{25}}
\tan 2a = \dfrac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \dfrac{{\dfrac{{24}}{{25}}}}{{\dfrac{7}{{25}}}} = \dfrac{{24}}{7}
Cho hình thoi ABCD có tâm O. Hãy cho biết số khẳng định đúng ?
a) \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC}
b) \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}
c) \overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OC}
d) \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA}
e) \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|
f) 2\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|
a) Sai vì hai véc tơ \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} không cùng hướng.
b) Đúng vì hai véc tơ \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} cùng hướng và cùng độ dài.
c) Đúng vì hai véc tơ \overrightarrow {OA} và \overrightarrow {OC} đối nhau.
d) Sai vì \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} không cùng độ dài và không cùng hướng
e) Đúng vì AB = BC
f) Sai vì 2\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 2OA = AC \ne BD = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|
Vậy có 3 khẳng định đúng.
Cho 3 điểm phân biệt A,B,C. Nếu \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} thì có nhận xét gì về ba điểm A,B,C?
Vì \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} nên \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} cùng hướng và AB = BC nên B là trung điểm của AC
