Bài tập cuối chương IV

$A = \dfrac{{\cot a - 2\tan a}}{{\tan \,a + 3\cot a}} = \dfrac{{\cot \,a - \dfrac{2}{{\cot a}}}}{{\dfrac{1}{{\cot a}} + 3\cot a}} = \dfrac{{{{\cot }^2}a - 2}}{{1 + 3{{\cot }^2}a}}$

Mà: ${\cot ^2}a + 1 = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}a}} \Leftrightarrow {\cot ^2}a + 1 = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\cot ^2}a = \dfrac{{16}}{9}$

$\Rightarrow A = \dfrac{{\dfrac{{16}}{9} - 2}}{{1 + 3.\dfrac{{16}}{9}}} =  - \dfrac{2}{{57}}$

Ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD}  = \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2M{O^2} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC.} \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right).\end{array}$

Có $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0$

$\overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {OB}  \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0,\overrightarrow {OC}  \bot \overrightarrow {OD}  \Rightarrow \overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OD}  = 0$

Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính $\dfrac{a}{2} \Rightarrow MO = \dfrac{a}{2} \Rightarrow M{O^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4}.$

Vậy $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD}  = 2.\dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^2}}}{2}$

Gọi a là góc tạo bởi hai trung tuyến BE,CF.

Khi đó $\cos a = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CF} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BE} } \right|\left| {\overrightarrow {CF} } \right|}}$

Sử dụng phân tích

$\begin{array}{l}\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CF}  = \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AE} } \right)\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AF} } \right)\\ = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AF} \\ = 0 - \overrightarrow {AB} .\dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{2} - \overrightarrow {AC} \dfrac{{\overrightarrow {AC} }}{2} + 0\\ =  - \dfrac{{A{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{C^2}}}{2} =  - \dfrac{{A{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{2} =  - A{B^2}.\end{array}$

$BE = CF = \sqrt {A{B^2} + A{E^2}}  = \sqrt {A{B^2} + \dfrac{{A{B^2}}}{4}}  = AB\sqrt {\dfrac{5}{4}}$

Từ đó suy ra $\cos a = \dfrac{{A{B^2}}}{{A{B^2}\dfrac{5}{4}}} = \dfrac{4}{5}.$

Hai véc tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ có chung gốc $A$ nên chúng cùng hướng nếu hai điểm $B,C$ nằm cùng phía so với điểm $A$ hay điểm $A$ nằm ngoài đoạn $BC$

Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $AD$ cắt $AB$ tại $P$.

Khi đó tứ giác $ADNP$ là hình vuông và $PM = PA + AM = a + \dfrac{a}{2} = \dfrac{{3a}}{2}$.

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $NPM$ ta có

$M{N^2} = N{P^2} + P{M^2} = {a^2} + {\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{13{a^2}}}{4}$$\Rightarrow MN = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}$

Suy ra $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = MN = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}$.

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $MAD$ ta có

$D{M^2} = A{M^2} + A{D^2} = {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} + {a^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{4}$$\Rightarrow DM = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$

Suy ra $\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = MD = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$.

Hai điểm phân biệt, chẳng hạn $A,\,\,B$ ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BA}$. Mà từ bốn đỉnh $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ của tứ giác ta có $6$ cặp điểm phân biệt do đó có $12$ vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Các vectơ khác vectơ - không cùng phương với $\overrightarrow {MN}$ là $\overrightarrow {NM} ,\,\,\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {AP} ,\,\,\overrightarrow {PA} ,\,\,\overrightarrow {BP} ,\,\,\overrightarrow {PB}$.

Ta có: $\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}$

$\Rightarrow \cos \widehat {AMB} = - \cos \widehat {AMC}$

Hay $\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0$

$M = \sin {45^o}.\cos {45^o} + \sin {30^o}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\sin {45^o} = \cos {45^o} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2};\;\\\sin {30^o} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Thay vào M, ta được: $M = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{2} = 1$

Theo định lí cos ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A$

$\Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\;\cos A$(1)

Mặt khác, xét nửa đường tròn đường giác:

Ta có: $\cos \alpha = a$ với a là hoành độ của điểm M.

Dễ dàng suy ra:

Nếu góc A nhọn thì $\cos A > 0$

Từ (1), suy ra ${b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\;\cos A > 0$

Hay ${b^2} + {c^2} > {a^2}$